Fonctions méromorphes...

Ludovic

Salut,

je me pose la question suivante :

On se donne une application méromorphe de $\C$. Disons $\phi$.
Existe-t-il une application méromorphe de $\C$ jamais égale à $\phi$ ?

Merci d'avance.

Ludo...

Eric Chopin

$1+\phi$...
Il manque peut-etre quelque chose a ta question, non?

a+

eric

le poulpe

si phi n'a pas de zeros tu prend 2phi qui convient

sinon tu prend phi + 1

enfin bref tu dois pouvoir en trouver une

Ludovic

Euh, ouais non. Je voulais dire en tant qu'application dans $\mathbb{P}^1$.

le poulpe

eh?
excuse moi c'est quoi $\mathbb{P}^1$?

Le Furet

Je pense qu'il veut dire qu'en l'infini aussi elles doivent différer.

Ludovic

Vi, vi... $\mathbb{P}^1(\C)$ l'espace projectif complexe. Il est facile de mettre une structure de variété holomorphe sur $\mathbb{P}^1(\C)=\C \cup \{\infty\}$. La donnée d'une application méromorphe de $\C$ est équivalente à la donnée d'une application holomorphe de $\C$ dans $\mathbb{P}^1(\C)$. D'une manière générale, c'est vrai pour les variétés de dimension $1$. Malheureusement, c'est totalement faux en dimension supérieure. Bref, Le Furet a raison. Je veux que les pôles soient différents.

Ludovic

Bon, j'ai une petite idée qui permet de se ramener à la recherche d'une fonction holomorphe.
J'écris : $\Tilde{\phi}=\alpha \phi$.
Alors, $\alpha$ doit être différente de $1$ en tout points. Elles doit avoir des pôles d'ordres supérieurs au $0$ de $\phi$ et des $0$ d'ordres supérieures aux pôles de $\phi$. On peut se permettre d'autres $0$ et d'autres pôles.
Par une homographie, on envoie $1$ en $\infty$, $0$ sur $0$ et $\infty$ sur $1$. Ainsi, on cherche une application holomorphe de $\C$ avec des $0$ et des $1$ prescrits et des $0$ d'ordres préscrits pour sa dérivée.
Si vous avez des idées plus précises...

Ludovic

J'ai eu pas ou peu de réponses. J'ai fini par trouver et je vous fais tout de même part de la réponse.
En fait, si on se donne une famille $(x_n)_{n \in \N}$ discrète de points de $\C$ et une suite d'entiers positifs $(\alpha_n)$. Pour chaque entier $n$, on se donne une famille $(w_{n,k})_{0 \leq k \leq \alpha_n}$ de nombres complexes.
Alors, il existe une application holomorphe $f$ tel que : $f^{(k)} (x_n)=w_{n,k}$.

Ce résultat est basé sur un théorème de Weierstrass (existence d'une fonction holomorphe avec des zéros d'ordres prescrits)et un autre de Mittag-Leffler (à appliquer dans cet ordre). On peut le trouver dans le Rudin p354 de la 3e edition.

@ bientôt.