Somme de combinaisons

seifsalem

Bonsoir
Je n'arrive pas à faire l'exercice 1.19
J'ai essayé plusieurs choses je n'y arrive pas.
Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la correction s'il vous plaît parce que je pense que tout simplement je ne connais pas la méthode nécessaire.
Merci beaucoup.

jacquot

Bonjour,

L'exercice 1.19 peut effectivement laisser sécher quelqu'un qui n'a jamais vu ce genre de calcul.

On pourra remarquer que le développement de $(a+b)^n+(a-b)^n$ ne fait apparaître que des termes où $b$ a une puissance paire, les autres s'annulant.
Il te reste à choisir des nombres $a$ et $b$ simples pour obtenir ce qui est demandé.
Amicalement. jacquot

jacquot

Comme @seifsalem ne donne pas signe de vie, je reviens sur sa question:
La méthode que je lui ai suggérée donne une expression très simple de la première somme.
pour la deuxième, elle donne aussi une expression compacte qui ne me satisfait qu'à moitié : $$\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2$$
l'expression est jolie, mais elle ne se calcule pas bien, sauf à refaire le développement. Pourtant cette somme est évidemment entière pour tout $n$.

Quelqu'un aurait-il une expression plus simplement calculable et pourrait-il alors m'aiguiller vers son obtention ?
Amicalement. jacquot

Math Coss

Comme pour $n\ge1$, on a $\frac{(\sqrt{2}-1)^n}{2}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\le\frac14$, la somme est l'entier le plus proche de $\frac{(\sqrt{2}+1)^n}{2}$. Autrement dit, on peut utiliser \[\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2=\left\lfloor\frac{(1+\sqrt 2)^n+1}2\right\rfloor.\]On peut aussi utiliser \[\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2=\begin{cases}
\displaystyle\left\lfloor\frac{(1+\sqrt 2)^n}2\right\rfloor&\text{si $n$ est impair}\\
\displaystyle\left\lceil\frac{(1+\sqrt 2)^n}2\right\rceil&\text{si $n$ est pair}\end{cases} \]

jacquot

Ah ben oui,
J'observe par exemple que pour $n=15$ la somme est l'entier le plus proche de $275 807,0000009$. Y a pas photo !
Toujours pour $n=25$, la première somme vaut $16 777 216$ que l'on peut bien sûr calculer mentalement avec une dizaine d'occasions de se tromper ! Finalement on aura également recours à la calculatrice.

Merci Math Coss ;-).

bisam

Jacquot : On peut aussi calculer de proche en proche les valeurs de $\displaystyle u_n=\frac{(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt2)^n} 2$ avec la relation de récurrence : $\forall n\in\N, u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n$ et les deux premiers termes $u_0=u_1=1$.

seifsalem

Merci à tous pour votre aide j'ai réussi l'exercice.
Pour la deuxième question j'ai trouvé la même chose que jacquot et je ne pense pas qu'il y a moyen de faire mieux
Merci encore une fois

jacquot

(tu)(tu) bisam,

C'est un nouvel exercice que tu nous proposes là !
ou un prolongement de l'exercice de seifsalem… Ta relation de récurrence se démontre assez facilement, mais comment l'as-tu vue ::o ?
As-tu chaussé des lunettes à QI ?
Genre on donne la suite $1,\ 1,\ 3,\ 7,\ 17,\ …$ Quel est le nombre suivant ?

C'est exactement ce que je cherchais, comment passer d'un terme au suivant, mais je n'ai pas pensé à une récurrence sur deux termes.
Merci. Amicalement, jacquot

aléa

@jacquot: il suffit de chercher une équation de degré 2 dont $1+\sqrt{2}$ et $1-\sqrt{2}$ sont les racines.

jacquot

Merci aléa,
Je manque sans doute de pratique des suites type Fibonacci :-S

jandri

On peut généraliser avec un réel $a$ quelconque et la suite $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2k}a^k$.

En introduisant $b\in\C$ tel que $b^2=a$ on obtient $u_n=\dfrac{(1+b)^n+(1-b)^n}2$.

La suite $(u_n)$ est alors caractérisée par $u_0=u_1=1$ et la récurrence : $\forall n\in\N, u_{n+2}=2u_{n+1}+(a-1)u_n$