Catalogue de figures presque...

Ludwig

Bonjour,
Un petit programme en python pour la calculatrice Numworks qui renvoie les $n$ premières réduites d'un nombre réel $x$. Bien sûr ses capacités sont limitées par celles de la machine, mais en pratique on ne veut en gros que les dix premières réduites grand maximum pour construire une figure presque, car il faut que celle-ci tienne sur une feuille A4 (et donc avec des dimensions en mm plus petites que disons 200).
Les fractions sont renvoyées sous la forme $(p,q)$. Comment faire pour avoir $p/q$ ?

nicolas.patrois

Tu peux, à la toute fin du for, utiliser yield P1,Q1 (et supprimer le return) pour transformer ta fonction en un générateur, tu peux même enlever la borne. Sinon, tu tapes return P1/Q1 à la place de return d.

Ludwig

Merci mais je n'ai pas réussi à faire ce que tu proposes.. j'ai obtenu un nombre décimal (un seul) pour les réduites de la racine de deux. Ce n'est pas ce que veux : pour l'instant mon programme affiche les réduites comme ceci : $[(1,1), (3,2), (7,5), (17,12)]$. Ce serait mieux ainsi : $[1/1, 3/2, 7/5, 17/12]$. Et même une seule fraction affichée par ligne.
Une autre question : comment arrêter le programme dès qu'un entier (numérateur ou dénominateur) dépasse $200$ ? 

EDIT: j'ai demandé au monstre qui pue car il a pété de faire les modifs. Voici le nouveau programme.

EDIT 2 : j'ai à nouveau modifié le programme car non seulement il faut des entiers plus petits que 200 mais il faut aussi prendre une réduite dont la suivante à des termes beaucoup plus grands pour que la figure presque soit très proche de la cible, sinon cela ne vaut pas le coup. Donc il faut avoir une vue globale sur les premières réduites pour pouvoir en choisir une. Dans cette troisième version j'ai choisi d'en afficher 10, on les aura toutes à l'écran dès l'exécution du script.

nicolas.patrois

def FC(real,order):
    x=real
    y=floor(x)
    d=[]
    n=order
    P0=1
    Q0=0
    P1=y
    Q1=1
    d.append((P1,Q1))
    for i in range(n):
        x=1/(x-y)
        y=floor(x)
        P=P1
        Q=Q1
        P1=P1*y+P0
        Q1=Q1*y+Q0
        d.append((P1,Q1))
        P0=P
        Q0=Q
        yield P1,Q1

Ou alors yield P1/Q1.

Ou alors :

def FC(real):
    x=real
    y=floor(x)
    d=[]
    n=order
    P0=1
    Q0=0
    P1=y
    Q1=1
    d.append((P1,Q1))
    while True:
        x=1/(x-y)
        y=floor(x)
        P=P1
        Q=Q1
        P1=P1*y+P0
        Q1=Q1*y+Q0
        d.append((P1,Q1))
        P0=P
        Q0=Q
        yield P1,Q1

Ludwig

Recopiés tels quels tes scripts ne fonctionnent pas, il y a toujours le message "generator object 'FC' at 200..". Peut-être faut-il importer une bibliothèque spéciale ?

J'ai intégré le calcul des réduites à GeoGebra (voir fichier joint, à renommer en .ggb). Du coup on peut obtenir une figure presque très rapidement, sans même déterminer le rapport exact de deux longueurs qui permettent de reconstruire la figure cible.
Exemple : un carré $ABCD$, $E$ et $F$ les symétriques de $D$ par rapport à $C$ et $A$ respectivement. $EFG$ le triangle équilatéral contenant le carré. Je fais calculer au logiciel une approximation $a$ de $DG/AB$, nombre que je place dans la case $A1$ du tableur. J'ai alors automatiquement les premières réduites de ce nombre. Je prends la fraction $29/28$, d'où la consigne suivante : $ABCD$ est  un carré de côté $28$, $E$ et $F$ les symétriques de $D$ par rapport à $C$ et $A$ respectivement. $G$ est le point de $(BD)$ en dehors du carré et tel que $DG=29$. $EFG$ est-il équilatéral ?

Attention : pour construire votre propre figure avec ce fichier il faut d'abord entrer un nombre dans $A1$ avant d'effacer la mienne, sinon la feuille de calcul sera perdue.

jelobreuil

Bonsoir Ludwig,

Inspiré par le "triangle 3-4-5" de gypsic, je regarde à tout hasard le triangle 5-12-13 ... et je constate que son centre de gravité est "presque" sur le cercle inscrit ...

       

Bien cordialement, JLB

Ludwig

Bonsoir jelobreuil,
Ta figure m'a donné l'idée du problème suivant : $(O)$ est le cercle trigonométrique, $A(-1,0)$ et $C(1,0)$. $B$ est un point de $(O)$ tel que le centre de gravité $G$ de $ABC$ soit sur le cercle inscrit à ce triangle : 

Construire une suite de triplets pythagoriciens primitifs $(a_n,b_n,c_n)$ telle que $(a_n/c_n,b_n/c_n)$ converge vers $B$.

jelobreuil

Bonsoir à tous,

Suite à la discussion sur le triangle 3-4-5 et son point de Nagel, je pose la question suivante, par curiosité : à quelle condition le centre de gravité d'un triangle se trouve-t-il sur le cercle inscrit dans ce triangle ? Je m'imagine qu'il doit y avoir une relation particulière entre angles et côtés qui mène à cette situation ...

Ce qui me motive est que j'ai constaté que le triangle rectangle 5-12-13 est "presque" dans ce cas : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2023098/catalogue-de-figures-presque#latest

Bien cordialement, JLB

jelobreuil

Bonsoir @Ludwig

Je suis heureux que mes lubies servent à quelque chose !

Ayant trouvé, dans un cours de P.J Hormière, l'équation suivante pour le cercle inscrit en coordonnées barycentriques :

$a^2yz +b^2zx + c^2xy - (a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc - 2ca)(x + y +z)^2/4 + (bc.x + ca.y + ab.z)(x + y + z) = 0$

 j'obtiens, en posant $x = y = z$, la condition suivante pour que le centre de gravité se trouve sur le cercle inscrit : $3(ab + bc + ca) = (a^2 + b^2 + c^2)/2$.

Est-ce exact ? Le calcul pour le triangle 5-12-13 donnant 281 = 169, j'aurais tendance à penser que non ...  d'autant qu'en sommant les relations d'Al Kashi, on obtient $(a^2 + b^2 + c^2)/2 = bc.cosA + ac.cosB + ab.cosC$, dont la valeur sera toujours, si je ne me trompe, inférieure à celle de $3(ab + bc + ca)$ ...  

Bien cordialement, JLB.

jelobreuil

Bonjour @Ludwig

Recherches-tu des figures "presque exactes" ? En voici une : Un triangle ABC, D le pied de la A-bisectrice, I le point de concours des bissectrices de ABC, J et K les points de concours des bissectrices des triangles BDI et CDI, et M et N les projetés orthogonaux de J et K sur BC. Alors, les quatre points J, K, M et N sont "presque cocycliques", ils ne forment pas un rectangle, mais un trapèze rectangle, car les deux côtés JM et KN ne sont que "presque égaux" ....

Bien cordialement, JLB

   

Ludwig

Bonjour @jelobreuil,
Je cherche plutôt des figures faciles à construire et la tienne ne l'est pas vraiment. De plus tes côtés $JM$ et $KN$ ne sont pas toujours "presque égaux", cela dépend de la forme du triangle $ABC$. Mais on peut quand même dire que le quotient $JM/KN$ est "très souvent" "proche" de $1$ (expressions entre guillemets à préciser bien sûr).
On peut démontrer que ce quotient $k$ est compris entre $1/2$ et $2$ et qu'on peut construire une figure avec un $k$ aussi proche que l'on veut d'un de ces extremums.
Joyeux Noël.

Ben314159

Salut
Pour les triangles tels que le centre de gravité soit sur le cercle inscrit, je trouve comme condition  $5(a^2\!+b^2\!+c^2) =6(ab+bc+ca)$.
Et pour les triangle Pythagoricien entiers ayant "presque" la propriété, je trouve $a\!=\!2pq,\ b\!=\!p^2\!-\!q^2,\ c\!=\!p^2\!+\!q^2$ avec $\dfrac{p}{q}\approx\dfrac{3+2\sqrt{3}\pm\sqrt{5\!+\!4\sqrt{3}}}{2}$ qui (avec un $-$) est très proche de $1.5$ ce qui explique que $p/q=3/2$, c'est-à-dire $a\!=\!12$, $b\!=\!5$, $c\!=\!13$ marchent bien.
La fraction continue suivante (avec gros terme ensuite) est $p/q=435/289$ . . .

Ludwig

Bonjour !

Je me suis rendu compte que je n'avais quasiment pas utilisé ces figures dans mon cours, car je ne les ai pas à portée de main. C'est quand même con ! Elles ne sont pas très loin c'est sûr, mais il faut venir ici sur le forum et chercher dans le fil, pas très pratique donc, ce serait mieux d'avoir un petit résumé sur des feuilles. Et tant qu'à faire autant le rédiger proprement. Pour l'occasion je me suis mis au latex avec l'éditeur en ligne overleaf. Je n'y connais rien et je me fais aider par le chat qui pète, c'est efficace et rapide.

Première feuille :  les triangles rectangles dont l'hypoténuse est plus petite que 200 et dont les angles aigus sont à moins d'un dixième de degré d'un entier.  Pas les plus intéressantes mais c'est comme ça.

PS : Il faut que je réécrive son texte : plutôt (a,b,c) avec c<200, etc.

Ludwig

Je m'aperçois qu'il n'y a pas encore de définition pour ces figures presque. Je propose : une figure presque est une figure géométrique qui, de prime abord, après utilisation des instruments traditionnels (règle graduée, équerre, rapporteur ou compas) semble posséder une propriété géométrique, propriété qu'elle n'a en fait pas du tout et cela est prouvé après coup.

Matricule_63

Tu as remplacé "presque" par "semble", qu'il faudrait donc définir maintenant...

Je proposerait plutôt  : on appelle propriété de la figure $F$  n'importe quelle assertion $P$ sur la famille  $p_1(F), p_2(F), ..., p_n(F)$, avec $p_1, p_2, ..., p_n$ des fonctions qui à une figure associent un réel

On dira que la figure vérifie presque P à $\delta$ près si P est vraie pour la famille $p_1(F)+\delta_1, p_2(F)+\delta_2, ..., p_n(F)+\delta_n$, avec les $\delta_1, ..., \delta_n$ inférieurs ou égaux en valeurs absolue à $\delta$.

Par abus de langage, on dira que la figure est presque P tout court si $\delta$ est inférieur à l'erreur de mesure des instruments utilisés. (l'œil pouvant être considéré comme un instrument de mesure)

Ludwig

Tu proposes une définition plus générale, pourquoi pas, mais je n'aurais pas parler d'abus de langage à propos des mesures avec les instruments, il s'agit simplement d'une restriction de la définition, et en pratique je crois qu'on peut d'ailleurs se limiter à cette restriction. Et alors il n'y a pas besoin de définir le verbe "sembler" quand on parle de ces mesures. Je propose encore plus simple : une figure presque est une figure géométrique qui semble posséder une certaine propriété géométrique lorsque vous la mesurez avec la règle graduée ou un rapporteur. Il s’avère cependant qu’elle ne possède pas cette propriété, ce qui est prouvé par la suite.

stfj

Bonjour,

Je reprends ci-après les notations de la figure.

Voici deux coniques dont les équations sont donnés dans le lien.

Si on s'intéresse à leurs diamètres conjugués communs, on obtient leur tracé ci-dessus. Mon premier réflexe a été de penser que $HK$ est l'un de ces diamètres. Mais en réalité non. Cela tient au fait que $$\frac{29+\sqrt{9161}}{3\sqrt{9161}+29}\approx \frac{1}{5}$$le membre de gauche de cette égalité étant la pente du diamètre $eq3$.

Il est assez saisissant d'agrandir la figure via geogebra pour noter la subtile différence.

Cordialement.

plsryef

Avec de la perspective cavalière, en traçant le cube avec géobébra, sachant qu'il n'y a pas de triangles équilatéraux dont les sommets sont sur une grille, qui est est un bon quadrillage: je demande de justtifier sachant qu'on a un cube, que le triangle BDG est équilatéral, un un ou deux élèves ont écrit "on mesure [DG], [BG] et [BD], on trouve la même longueur" c'était donné en 5ème, j'ai tout de même filé les points, même si j'avais parlé de ces histoires de vraies et de fausses longueurs:

Si ce n'est les longueurs dans un plan en vu de "face", rien d 'autre n'est mesurable à la règle en théorie, ça demande beaucoup de temps de tout expliquer et encore à cet âge Pythagore n'est pas dans le "pack", si ça se trouve j'en ai déjà parlé, j'avoue, là, je ne sais plus.