Dérivée de la primitive

elodouwen

Bonjour.
Ma problématique est de comprendre les conditions précises pour que la relation :$$c_n(F)=\dfrac{\rm{i}}{n}c_n(f)$$ soit vraie.
Les notations sont : $F$ une primitive de $f$ et $c_n$ le coefficient de Fourier complexe.

1) une intégration par parties montre très simplement le résultat :
$c_F (k) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} F (t) e_k (- t)
\rm{d} t = - \frac{1}{\rm{i} k} \times \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f (t)
e_k (- t) \rm{d}t = \frac{\rm{i}}{k} c_n (f)_{}$
Seulement, la formule de l'intégration par parties n'est valide que si $(u v)'=u v$ ce qui est vrai (condition suffisante) si $u$ et $v$ continues.
$\rightsquigarrow$ Cette démo ne serait donc valide que si $f$ était continue

2) par Fubini on a le résultat, sans condition autre que $f\in L^1$

---

Mes deux questions sont donc :
- ne me suis je pas trompé sur le fait que le résultat est valide dès que $f\in L^1$ ?
- la formule de l'intégration par parties peut-elle rester vraie dans d'autres cas que celui où u,v continues ?

---

petite note de cours :
Prendre $f (t) = \lfloor t \rfloor$ (partie enti{\`e}re). Alors $g (x) =
\int_0^x f (t) \rm{d} t$ existe pour tout $x$ mais n'est d{\'e}rivable en
aucun entier ($f$ ne peut {\^e}tre une fonction dérivée car elle ne
v{\'e}rifie pas la propriété des valeurs intermédiaires.)

rakam

réponse partielle : l'intégration par parties reste vraie si les fonctions sont continues et $C^1$ par morceaux.

elodouwen

Pour démontrer que certaines séries trigo ne sont pas des séries de Fourier, j'utilise le fait (en suivant les ouvrages que je lis) que $\sum \frac{c_n (f)}{n}$ converge (ce qui discrédite la série $\underset{n\geqslant 2}{\sum} \frac{1}{\ln n} e_n$).
Mais pour démontrer ce fait, je vois cette démo consistant à partir de $c_n (F) =
\frac{i}{n} c_n (f)$.
Or, vu les posts précédents, ceci ne serait vrai (ou du moins je vois comment le montrer seulement si) $f$ continue, ou continue par morceaux en suivant la remarque de @Rakam.
Donc, ai-je montré que la série $\underset{n\geqslant 2}{\sum} \frac{1}{\ln n} e_n$ n'est la série de Fourier d'aucune fonction $L_{2\pi}^1$ ? ou ai-je montré qu'elle n'est la série de Fourier d'aucune fonction continue (par morceaux) ? ce qui réduit le résultat quand même non ?

Poirot

Le fait que $\sum_{n \neq 0} \frac{c_n (f)}{n}$ converge est vrai pour n'importe quelle fonction $L^2([0, 1])$ : d'après la formule de Parseval, on a $\sum_{n \in \mathbb Z} |c_n(f)|^2 < +\infty$, et ainsi $\sum_{n \in \mathbb Z \setminus \{0\}} \frac{|c_n|}{n} \leq \frac{1}{2} \sum_{n \in \mathbb Z \setminus \{0\}} (|c_n(f)|^2 + \frac{1}{n^2}) < +\infty$.

BobbyJoe

La difficulté dans l'exemple que tu cherches est de prouver que la suite $\Big (\dfrac{1}{\ln(n)}\Big)_{n\geq 2}$ est bien la suite des coefficients de Fourier de $f$ si tu la supposes $L^{1}.$
En supposant par l'absurde que $f\in L^{1},$ on peut par exemple procéder au calcul du $n$-ième coefficient de Fourier de $f$ en découpant l'intervalle d'intégration en un intervalle localisé autour de $0$ (et utiliser le fait que $f\in L^{1}$ pour montrer que la contribution de cette intégrale est petite) et un ensemble qui est "loin de $0$" sur lequel il y a convergence uniforme (via une transformation d'Abel) pour intervertir sommation et intégration.

BobbyJoe

La formule d'intégation par parties que tu cherches reste valide si tu supposes seulement que la fonction est $W^{1,1}$ (si tu préfères pour les fonctions $L^{1}$ dont la dérivée faible est $L^{1}$).

side

supp

BobbyJoe

Si $\displaystyle f=\sum_{n\geq 2}\frac{e_{n}}{\ln(n)}$ était la série de Fourier d'une fonction $L^{1}$ alors, considérons $k\geq 2$ et $\delta>0$ (très petit) pour avoir :
\begin{align*}
\int_{0}^{1}f(t)\exp(-2i\pi k t)dt & = \int_{0}^{\delta}f(t)\exp(-2i\pi k t)dt + \int_{1-\delta}^{1}f(t)\exp(-2i\pi k t)dt +\int_{\delta}^{1-\delta}f(t)\exp(-2i\pi k t)dt\\
& := E_{1}+ E_{2}+E_{3}.
\end{align*}

Comme $f\in L^{1}$ alors $E_{1}$ et $E_{2}$ tendent vers $0$ lorsque $\delta$ tend vers $0.$
Enfin, comme il y a convergence uniforme sur tous les segments du type $[\delta,1-\delta]$ de la série définissant $f$ (par une transformation d'Abel), on obtient alors :
\begin{align*}
E_{3} & =\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\ln(n)}\int_{\delta}^{1-\delta}\exp \left( 2i\pi(n-k)t \right)dt\\
& = \frac{1-2\delta}{\ln(k)}-\frac{1}{\pi}\sum_{n\geq 2;n\neq k}\frac{\sin(2\pi(n-k)\delta)}{(n-k)\ln(n)}.
\end{align*}

On conclut alors par une transformation d'Abel que $E_{3}$ tend vers $\displaystyle \frac{1}{\ln(k)}$ lorsque $\delta$ tend vers $0.$
Il vient alors pour $k\geq 2,$ $\displaystyle c_{k}(f)=\frac{1}{\ln(k)}.$
Ceci contredit le critère de sommabilité que tu as évoqué, ainsi $f$ n'est pas $L^{1}.$

side

supp

BobbyJoe

Il s'agit de l'inégalité de Hardy qui stipule lorsque $f$ est une fonction de $H^{1}$ (l'espace des fonctions holomorphes du disque, intégrables sur le tore) $$\sum_{k\geq 1}\frac{\vert c_{k}(f) \vert}{k}\leq C\|f\|_{1}.$$
Pour conclure dans l'exemple donné ci -dessus, on a besoin d'un critère un peu moins bon cependant.

side

supp

BobbyJoe

Si $f\displaystyle =\sum_{n\geq 1}b_{n}(f)\sin(nx)$ représente une fonction $L^{1}$ où la suite $b$ est positive alors $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{b_{n}(f)}{n}<+\infty.$

En effet, on utilise qu'il existe $C>0$ tel que pour tout $x\in \mathbb{R},$ pour tout $N\in \mathbb{N}^{*},$
$\displaystyle \vert S_{N}(x)\vert := \Big\vert \sum_{n=1}^{N}\frac{\sin(nx)}{n}\Big\vert \leq C.$
Ainsi, il vient pour tout $N\in \mathbb{N}^{*}$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N}\frac{b_{n}(f)}{n} & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sum_{n=1}^{N}\frac{sin(nt)}{n}dt\\
& =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)S_{N}(t)dt\\
& \leq 2C\|f\|_{1}.

\end{align*} Comme la suite $b$ est positive, on obtient effectivement : $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{b_{n}(f)}{n}<+\infty.$

side

supp

side

supp

side

supp

side

supp