Produit semi-direct

Jean Vingt-trois

Une petite question sur une remarque du livre de Perrin, p. 13, à propos
du groupe $Q$ des quaternions. L'objet de cette remarque est de montrer que
$Q$ n'est pas produit semi-direct de deux de ses sous-groupes. Les seules
possibilités du point de vue des cardinaux sont $Q = N \rtimes H$ avec $N$ d'ordre $4$ ou $2$,
et $H$ d'ordre $2$ ou $4$. Ensuite Perrin donne deux arguments distincts pour ces deux possibilités,
mais il me semble que c'est immédiat puisque $Q$ admet un seul sous-groupe d'ordre $2$, qui est nécessairement contenu dans tout sous-groupe d'ordre $4$, donc on n'a jamais $N \cap H = \{1\}$,
ce qui empêche d'avoir le produit semi-direct.

Je rate quelque chose ?

Math Coss

Eh bien, cela fait un troisième argument !