Statistiques à deux variables

Tchitchi

Bonsoir svp voici ma question:
Étant donné un vecteur X=(U,V) on suppose que X suit une loi normale de densité f(u,v)= kexp(-3/16u^2 +1/4uv-1/4v^2) on demande E(X) et de déduire k

jma

Bonsoir,

Il faudrait que tu amorces un début de résolution pour que quelqu'un t'aide.

Cordialement.

Tchitchi

Étant donné qu'il s'agit de déterminer l'espérance des variables u et v j'ai commencé par déterminer les densité marginales mais l'intégration est compliqué, je veux une autre méthode

jma

Quelle est la formule de l'espérance d'un couple de variables et, l'exponentielle ne te permet-elle pas de distinguer deux fonctions de u et v ? (je n'ai pas fait de calculs)
Cordialement.

Tchitchi

Je ne pense pas qu'il existe une formule pour calculer l'espérance d'un couple, ce que je sais c'est que E(X)=E((u,v))=(E(u),E(v)) donc il me suffit juste de calculer les différentes espérances de u et v mais la détermination des densités marginales me cause problème.

jma

Il n'y a pas cela quelque part : si $g\left(U,V\right)$ est une fonction du couple alors $\mathbb{E\left(\mathrm{g\left(U,V\right)}\right)}=\smallint_{\mathbb{R}}\smallint_{\mathbb{R}}g\left(u,v\right)f_{U,V}\left(u,v\right)dudv$.

Cordialement.

P.

$(U,V)$ suit une loi normale CENTRÉE à deux dimensions et donc l’espérance de $(U,V)$ est $(0,0).$ Quant à en déduire $k$ c'est idiot. L'inverse de la matrice de covariance est $$
\Sigma^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3/8&-1/4\\-1/4&1/2\end{array}\right].
$$ Pour trouver $k$ regarde le cours sur les lois normales à plusieurs dimensions.

gerard0

Bonjour P.

Pourquoi "centrée" ?

Cordialement.

P.

La densite d'une loi normale non singuliere $N(m,\Sigma)$ dans l'espace euclidien de dimension $n$ est
$$\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n\sqrt{\det \Sigma}}e^{-\frac{1}{2}(x-m)^t\Sigma^{-1}(x-m)}$$ Elle est dite centree si $m=0.$

gerard0

Et tu as vu comment que m=0 (je suis assez innocent sur ce sujet) ?

Cordialement.

P.

$$(x-m)^t\Sigma^{-1}(x-m)=x^t\Sigma^{-1}x+2x^t\Sigma^{-1}m+m^t\Sigma^{-1}m$$ est la somme d'une forme quadratique en $x$ d'une forme lineaire en $x$ et d'une constante (par rapport a $x$). Dans l'exemple du fil $x=(u,v)$ et il n'y a que la forme quadratique ce qui implique que $m$ est nul.


Un autre moyen de voir que la moyenne est nulle est simplement de constater que la densite est invariante par $(u,v)\mapsto (-u,-v).$

Tchitchi

Merci beaucoup j'ai fini par trouvé