Besoin d'aide pour résoudre un exercice
Bonjour à tous,
je veux montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que $$
\dfrac{1}{R} \int_{B(x,R)} \dfrac{1}{|y|^2}dy \leq C,
$$ où $B(x,R)$ désigne la boule fermée dans $\mathbb{R}^3$ de centre $x$ et de rayon $R$.
J'essaie de résoudre cette exercice mais je n'y arrive pas, je suis bloqué à l'étape 3.
$ 1^{er}$ cas.
Si le centre de $B(x,R)$ est l'origine i.e $x=0$, alors par le passage en coordonnées sphériques $$
\dfrac{1}{R}\int_{B(0,R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy=\dfrac{1}{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \dfrac{1}{r^2}r^2 \sin \theta drd\theta d\varphi=4\pi.
$$ $2^{ème}$ cas.
Si $|x|\leq R$ alors $B(x,R)\subset B(0,2R)$ et on a $$
\dfrac{1}{R}\int_{B(0,R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy\leq \dfrac{1}{R}\int_{B(0,2R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy=8\pi.
$$ $3^{ème}$ cas.
Si $|x|> R$ ?
Quelqu'un peut m'aider SVP.
Merci d'avance.
je veux montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que $$
\dfrac{1}{R} \int_{B(x,R)} \dfrac{1}{|y|^2}dy \leq C,
$$ où $B(x,R)$ désigne la boule fermée dans $\mathbb{R}^3$ de centre $x$ et de rayon $R$.
J'essaie de résoudre cette exercice mais je n'y arrive pas, je suis bloqué à l'étape 3.
$ 1^{er}$ cas.
Si le centre de $B(x,R)$ est l'origine i.e $x=0$, alors par le passage en coordonnées sphériques $$
\dfrac{1}{R}\int_{B(0,R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy=\dfrac{1}{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} \dfrac{1}{r^2}r^2 \sin \theta drd\theta d\varphi=4\pi.
$$ $2^{ème}$ cas.
Si $|x|\leq R$ alors $B(x,R)\subset B(0,2R)$ et on a $$
\dfrac{1}{R}\int_{B(0,R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy\leq \dfrac{1}{R}\int_{B(0,2R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy=8\pi.
$$ $3^{ème}$ cas.
Si $|x|> R$ ?
Quelqu'un peut m'aider SVP.
Merci d'avance.
Réponses
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La quantité à intégrer devient de plus en plus petite quand tu t'éloignes de plus en plus du centre d'une boule centrée sur un point $x$.Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir.
-
Et si on fait d'abord , un changement pour se ramener à intégrer sur une boule centrée à l'origine ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Bonsoir
J'ai essayé de débloquer le cas 3 (voir ci-dessous), mais je ne sais pas si mon raisonnement est juste.
Si $|x|> R$. On peut prendre dans ce cas $x$ sous la forme $x=
\begin{pmatrix}
x_1\\
0\\
0
\end{pmatrix},$ avec $x_1>0$. Donc
\begin{aligned}
\dfrac{1}{R}\int_{B(x,R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy&=\dfrac{1}{R}\int_{B(\overline{R},R)}\dfrac{1}{|z+x-\overline{R}|^2}dz , \qquad\text{avec } z=y-x+\overline{R} \text{ et } \overline{R}=\begin{pmatrix}
R\\
0\\
0
\end{pmatrix}\\
&=\int_{B(\overline{R},R)}\dfrac{1}{|z|^2+(x_1-R)^2+2z_1(x_1-R)}dz\\
& \leq \dfrac{1}{R}\int_{B(\overline{R},R)}\dfrac{1}{|z|^2}dz,
\end{aligned} car $
x_1-R>0$ et $ z_1>0,$ puisque $ |z-\overline{R}|<R.$
Donc
\begin{equation*}
\dfrac{1}{R}\int_{B(x,R)}\dfrac{1}{|y|^2}dy\leq \dfrac{1}{R}\int_{B(0,2R)}\dfrac{1}{|z|^2}dz=8\pi.
\end{equation*} Merci à l'avance à toutes vos réponses.
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Bonjour!
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