Théorème de Schwarz
dans Les-mathématiques
Bonjour,
je recherche une preuve simple du théorème de schwarz pour les fonctions de classe C2 de R² dans R (théorème qui dit que la dérivée par rapport à x de la dérivée par rapport à y est égale à celle par rapport à y de celle par rapport à x).
J'ai vu qu'il y avait une preuve sur ce site mais dans un cas plus général et elle utilise des notions que je ne connais pas, cependant on m'a dit qu'on pouvait le démontrer pour le cas des fonctions C2 de R² dans R en utilisant principalement le théorème des accroissements finis.
Quelqu'un pourrait-il m'en donner une démonstration simple ? (ça m'embête de devoir l'admettre pour l'utiliser tout le temps en physique ...)
je recherche une preuve simple du théorème de schwarz pour les fonctions de classe C2 de R² dans R (théorème qui dit que la dérivée par rapport à x de la dérivée par rapport à y est égale à celle par rapport à y de celle par rapport à x).
J'ai vu qu'il y avait une preuve sur ce site mais dans un cas plus général et elle utilise des notions que je ne connais pas, cependant on m'a dit qu'on pouvait le démontrer pour le cas des fonctions C2 de R² dans R en utilisant principalement le théorème des accroissements finis.
Quelqu'un pourrait-il m'en donner une démonstration simple ? (ça m'embête de devoir l'admettre pour l'utiliser tout le temps en physique ...)
Réponses
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{ \scshape Théorème (Schwarz).} Soit une application $f: \mathcal{U} \subset \R^2 \rightarrow \R$, où $\mathcal{U}$ est un ouvert de $\R^2$, telle que $f$ admette des dérivées partielles $\partial^2f / \partial x \partial y$ et $\partial^2f / \partial y \partial x$ sur $\mathcal{U}$, continues en un point $a$ de $\mathcal{U}$. Alors $$\frac{ \partial^2 f}{\partial x \partial y} (a) = \frac{ \partial^2 f}{\partial y \partial x} (a).$$ { \it Démonstration.} Soient $x_0$, $y_0$ les coordonnées de $a$. Soient $h >0$ et $k >0$ tels que $[x_0,x_0+h] \times [y_0,y_0+k] \subset \mathcal{U}$. On pose $$\delta (h,k) = f(x_0+h,y_0+k) - f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0).$$ Si on pose $\varphi : x \mapsto f(x,y_0+k)-f(x,y_0)$, on a $\delta (h,k) = \varphi (x_0+h)- \varphi (x_0)$, et la fonction $\varphi$ étant dérivable sur $[x_0,x_0+h]$, le théorème des accroissements finis assure l'existence de $\theta_1 \in ]0,1[$ tel que $\delta (h,k) = h \varphi '(x_0+ \theta_1 h)$, ce qui s'écrit encore $$\delta (h,k) = h \left[ \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0+k ) - \frac{ \partial f}{ \partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0 ) \right].$$ Maintenant, l'application $y \mapsto \partial f / \partial x(x_0+ \theta_1 h,y)$ étant dérivable sur $[y_0, y_0+k]$, une nouvelle application du théorème des accroissements finis donne l'existence de $\theta_2 \in ]0,1[$ tel que $$\delta (h,k) = hk \frac{ \partial^2 f}{ \partial y \partial x} (x_0 + \theta_1 h, y_0+ \theta_2 k). \ \ \ ( \ast )$$ En travaillant à partir de la fonction $\psi : y \mapsto f(x_0+h,y) - f(x_0,y)$, on montrerait de même l'existence de $\theta_3, \theta_4 \in ]0,1[$ tels que $$\delta (h,k) = hk \frac{ \partial^2 f}{ \partial x \partial y} (x_0 + \theta_3 h, y_0+ \theta_4 k). \ \ \ ( \ast \ast )$$ En égalant $( \ast)$ et $( \ast \ast )$ et en faisant tendre $h$ et $k$ vers $0$, on en déduit en vertu de la continuité des dérivées partielles $\partial^2 f / \partial x \partial y$ et $\partial^2 f / \partial y \partial x$ en $a$, l'égalité de ces dernières au point $a$. $\square$
{ \it D'après Les maths en tête - X. GOURDON - Thm 2 p.302 }. -
C'est juste pour chipoter mais son nom c'est Schwartz et pas Schwarz comme le pote à Cauchy ;-)
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Bonjour,
C'est bien Schwarz sans t.
La même personne que dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Voir l'excellent livre "Des mathématiciens de A à Z"
A+ -
Alala mes profs de sup et spé m'ont dit que ce n'était pas le même bonhomme et que le pote à Cauchy ne prenait pas de thé alors que l'autre en prenait un. Mais bon ton bouquin ne doit pas se tromper... c'est tout un mythe qui s'effondre !
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Merci bien Gaudio
Sinon moi j'ai toujours vu que là c'était Schwarz qui n'est pas le même que celui de l'inégalité de Cauchy-Schwartz.
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Bonjour!
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