Le projecteur de Leray

Bonsoir tout le monde,
Je veux montrer les propriétés suivantes :
(1)-$\mathbb{P}(\mathbb{P}(v))=\mathbb{P}(v)$ pour tout $v\in S(\mathbb{R}^n)^n$.
(2)-$\nabla.\mathbb{P}(v)=0$ pour tout $v\in S(\mathbb{R}^n)^n$.
(3)-$\mathbb{P}(v)=v$ pour tout $v\in S(\mathbb{R}^n)^n$ tel que $\nabla .v=0$
(4)-$\mathbb{P}(\nabla\varphi)=0$ pour tout $\varphi \in S(\mathbb{R}^n)$
où $\mathbb{P}$ désigne l'opérateur de projection sur les champs de vecteurs à divergence nulle (le projecteur de Leray).
J'ai pu démontrer en passant aux transformées de Fourier la propriété (3).
Quelqu'un peut m'indiquer comment procéder pour les propriétés restant SVP?
Merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • La 1 est évidente non? Car P(u)=0+P(u)
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Quelle est ta définition du projecteur de Leray que tu veux utiliser ? Par un opérateur pseudo-différentiel ou par la décomposition de Helmholz-Leray ?
  • Mon raisonnement utilise cette décomposition et je ne vois pas pourquoi s'en priver
    Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..


  • Je parlais à taib.
  • Bonjour, 

    Je reprends cette discussion. Pour ajouter une question : comment montrer que ce projecteur est auto-adjoint ? J'utilise la définition pseudo-différentielle et j'écris le projecteur P sous sa forme matricielle comme $P = I + \nabla (-\nabla)^{-1} \nabla$. Si j'utilise la définition, alors je commence par écrire $(Pu,v)_{L^{2}}$, mais je n'arrive pas à réécrire cela comme $(u,Pv)$ de manière à atteindre la définition d'opérateur auto-adjoint. 

    D'avance, merci beaucoup.

     Cordialement,

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