Convolution de convolution

Fulgrim

Bonsoir à tous !

Je me suis retrouvé devant cette égalité, avec $g_t$ la densité d'une $\mathcal{N}(0,t)$ et $f$ une fonction quelconque de $L^1$ : $$
g_t\ast f = g_{t-s} \ast (g_s\ast f), \qquad \forall\,0<s<t.
$$ D'où vient-elle, et y a-t-il des généralisations possibles ?
Merci

Philippe Malot

Bonsoir,
Le produit de convolution est associatif et la convolée de $g_{t-s}$ et de $g_s$ est $g_t$ !

Fulgrim

Merci, mais c'est justement cette dernière propriété qui me posait problème justement $g_t=g_{t-s}\ast g_s$, (c'est vrai que j'aurais pu me passer de $f$ dans ma question).
C'est évident ? Ou cela dérive-t-il d'un long calcul explicite sur les densités ?

gebrane

C est un résultat bien connu. La convolution de deux gaussiennes est une gaussienne de moyenne la somme des moyennes et de variance la somme des variances

Philippe Malot

Il me semble que cela vient tout seul en écrivant le calcul.
Si $y$ est un nombre réel, on a :
\[\begin{align}
g_{t-s}\ast g_s(y)&=\dfrac 1{2\pi\sqrt{s(t-s)}}\int_\R e^{-\frac{x^2}{2(t-s)}-\frac{(y-x)^2}{2s}}dx \\
&=\dfrac 1{2\pi\sqrt{s(t-s)}}\int_\R e^{-\frac 12\left(t\frac{x^2}{s(t-s)}+\frac{y^2-2xy}s\right)}dx \\
&=\dfrac 1{2\pi\sqrt t}\int_\R e^{-\frac 12\left(x^2+\frac{y^2}s-2xy\sqrt{\frac{t-s}{ts}}\right)}dx \\
&=\dfrac{e^{-\frac{y^2}{2t}}}{2\pi\sqrt t}\int_\R e^{-\frac 12\left(x-y\sqrt{\frac{t-s}{ts}}\right)^2}dx \\
&=g_t(y)
\end{align}\]

Fulgrim

Ok merci, je pensais qu'il y avait une raison profonde derrière tout ça, mais le calcul me convient