Deux exercices sur la dérivée

Bonjour,
j'éprouve quelques difficultés à trouver des solutions aux deux exercices suivants, dont les énoncés semblent pourtant relativement simple.

Exercice 1. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction dérivable telle que $f(a)=f(b)=0$, $f'(a)>0$ et $f'(b)>0$. Montrer que \[
\exists c\in\,]a,b[,\quad f(c)=0\quad\text{et}\quad f'(c)\leq 0.

\] Graphiquement, le résultat semble évident. J'arrive à montrer qu'il existe $c\in\,]a,b[$ tel que $f(c)=0$. Ensuite, je pense arriver au résultat avec des arguments de compacité, mais cette approche me parait trop compliquée... Je me demande s'il n'est pas possible d'avoir une solution plus simple (c'est normalement un exercice utilisable en Bac+1).

Exercice 2. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction dérivable telle que $f'(a)=f'(b)$. Montrer que \[
\exists c\in\,]a,b[,\quad f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}.

\] Géométriquement, l'exercice montre qu'il existe une tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ en un point $(c,f(c))$ avec $c\in\,]a,b[$ passant par le point de coordonnée $(a,f(a))$. Je sais faire cette exercice avec des hypothèses un peu plus fortes ($f'(a)=0$ et $f(a)=f(b)$). Il me semble qu'il faut réussir à montrer que la dérivée de la fonction \[
x\longmapsto \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}
\] s'annule sur $]a,b[$, ce qui fait penser au théorème de Rolle, mais je reste bloqué...

Je vous remercie pour vos pistes et votre aide!

Édit : J’ai corrigé l’erreur d‘énoncé que vous m’avez signalé.

Réponses

  • supp
  • Le 1/ avoir f(c) =0 est bizarre

    f(x)=sin(x)+10 sur [0;2pi] on a bien f’(0)>0 et f’(2pi)>0 , f(0)=f(2pi)=10

    il n’existe aucun c dans dans [0;2pi] tel que f(c)=0
  • Pour la 1, il faut corriger en f(a)=f(b)=0
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Exercice 1 :
    Il y a une erreur dans l’énoncé, non ?

    Pardon pour cette vulgarisation et pour mon vocabulaire non académique (chers lycéens, attention, ce qui suit est très mal dit).
    Les hypothèses disent que la courbe est « régulière » et « monte en partant » du point $(a ; f(a))$ puis « arrive en montant » vers le point $(b ; f(b))$.
    Ainsi, si c’est « très haut » je ne vois pas pourquoi $f$ s’annulerait quelque part.


    Par exemple on prend une sinusoïde restreinte à $[0;2\pi]$ et on ajoute $100$.
    En plus clair : $f : x \mapsto \sin (x) +100$.

    Alors $f(0)=f(2\pi)$ et $f’(0)=f’(2\pi)=1$ ce qui est bien strictement positif.
    Mais il n’existe pas de $c$ tel que $f(c)=0$.

    Pardon si quelque chose m’échappe.

    Édit : zut, je n’avais pas vu les deux derniers messages.
    La correction de gebrane (salut !) est très raisonnable.
  • Pour le 1) avec la précision $f(a)=f(b)=0$, une fois qu'on a montré l'existence d'un $c\in\,]a,b[$ tel que $f(c)=0$, on définit $m=\inf\{c>a\mid f(c)=0\}$ et on montre que $m>a$, que $f(m)=0$ et que $f'(m)\leq0$.
  • Ne mangez pas tout, laissez quelques choses pour cc que je salue , il adore ce genre d'exos et ses méthodes me fascinent personnellement
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Est-ce que pour le 1/ on peut montrer que la dérivée $f’$ s’annule au moins deux fois ?
  • Oui Etanche, tu appliques Rolle sur [a,c] et sur [c,b]
    L’énoncé 1 de MrJ peut être aussi corrigé en touchant à rien mais de Montrer que $ \exists c\in\,]a,b[,\quad f(c)=f(a)$
    J'ai ma petite idée sur la question 2, mais qui commence par on pose ( une fonction qui tombe du ciel)
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Merci à tous pour vos contributions. Il y avait bien un petit oubli dans l'énoncé du premier exercice que j'ai corrigé.

    @etanche : J'ignorais qu'il s'agissait d'un théorème. Il faut que j'étudie encore en détail les preuves. Voici un lien vers l'article de Flett : Théorème de Flett.

    @jandri : Je te remercie : c'est beaucoup plus simple que ce que j'avais essayé.
  • Pour résoudre la question 2; j'ai essayé de la relier à la question 1. Donc je devrais chercher une fonction g vérifiant
    $g(a)=g(b)=0$ et $g'(a)>0, g'(b)>0$
    .
    En fait j'ai cherché g vérifiant
    $g(a)=g(b)=0$ et $g'(a)=g'(b)$

    On a $f'(a)=f'(b)$, donc pour que la condition $g'(a)=g'(b)$ soit automatiquement vérifiée, j'ai cherché $g$ égale à $f$ à une droite près : c'est à dire $$g(x)-f(x)=\alpha x+\beta$$
    De $g(a)=g(b)=0$, on tombe sur l'expression explicite de $g$ à savoir
    $$g(x)=f(x)-f(a)-(x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
    Apres c'est facile,



    [size=x-large]*[/size]Si $g'(a)=g'(b)>0$, on utilise l'exercice 1......
    edit
    d'apres l'exercice 1, il existe $c$ tel que $g(c)=0$ ce qui implique $ \dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}= \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ maintenant on applique Rolle de la fonction dans le post de MrJ $x\longmapsto h(x)= \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$: on a $h(c)=h(b)$ donc il existe $c^*$ tel que $h'(c^*)=0$ ce qui donne le résultat en dérivant h

    [size=x-large]*[/size] Si $g'(a)=g'(b)<0$, on remplace g par -g


    [size=x-large]*[/size]Si $g'(a)=g'(b)=0$.... edit
    alors $g'(b)=f'(b)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ donc on peut prendre $c=b$
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • @gebrane : c’est drôle parce qu’à l’origine, les deux exercices n’avaient pas de lien entre eux. (:P)
  • Si tu avais donné seulement l'exercice 2 sans l'exercice 1, je n' aurais jamais pu le résoudre. je ne sais pas en fait qu'elle mouche m a piqué la nuit pour faire ce lien
    MrJ es-tu d'accord avec mon raisonnement ?
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour a tous je lance un SOS
    Est ce que quelqu'un peut résoudre l'exercice 2 de MrJ sans passer par l'exercice 1. je sèche complètement !
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Bonjour

    Pour le 2, étudie la fonction $x\mapsto {f(x)-f(a)\over x-a}.$
  • Bah si tu as vu mon raisonnement , j'ai appliqué à cette fonction le théorème de Rolle
    Cher YvesM Veux-tu donner les détails de ta vision
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • Regarde le début de la dernière page du lien que j’ai indiqué plus haut : Théorème de Flett.
  • MrJ
    Quel etourdissement, J' avais manqué le post de étanche et ton lien.
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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