Interprétation de l'homologie

Bonsoir tout le monde, sur la page wiki de l'homologie simpliciale (calcul dans le cas du tore), on trouve cette phrase:

On peut interpréter les choses ainsi : $H_{0}(T)=\mathbb {Z}$ signifie que T est connexe. $H_{1}(T)=\mathbb{Z } ^{2}$ signifie que T se referme sur lui-même dans deux directions différentes. $H_{2}(T)=\mathbb{Z }$ signifie que T enferme un volume.

Quel sens peut-on donner en général aux premiers espaces d'homologie (et cohomologie) et pourquoi cela ? Pour le $H_0$, je sais qu'il reflète la connexité de l'espace (par exemple en cohomologie de De Rham) mais ça s'arrête là.

Merci!

Réponses

  • Cela mesure le "nombre de trous" de telle dimension.

    Cette heuristique a ses limites (que représente alors la torsion ? Plus géméralement les homologies non libres ? Pourquoi $\mathbb RP^2$ n'a-t-il pas de "trou" en dimension $2$ ? Etc.), mais elle peut donner une certaine intuition.

    Mais en faite cette intuition est relativement fidèle à la définition du complexe de chaînes simpliciales : les cycles sont les chaînes qui se comportent "comme si elles étaient la frontière d'un simplexe", et dire qu'un certain cycle n'est pas un bord, c'est dire que justement : ce n'est la frontière d'aucun simplexe, donc c'est le "bord" d'un trou
    (On a déjà eu une discussion sur le forum pour savoir si le cycle "était le trou" ou "était le bord du trou" - comme il s'agit d'une heuristique ce n'est pas si grave)
  • Bonjour,

    Peut-être que l'article ``Cent ans de topologie algébrique'' par Christian Kassel peut aider ? In http://math.univ-lille1.fr/~kallel/centans-kassel.pdf. Extrait d'un numéro de L'Ouvert
    http://numerisation.univ-irem.fr/ST/IST02009/IST02009.pdf
  • Merci Maxtimax et merci beaucoup Claude, l'article de Christian Kassel est très intéressant et m'a apporté quelques réponses.
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