Fermés emboîtés

Bonjour
j'ouvre un nouveau post car l'autre a mélangé pas mal de choses.

Soit une suite de fermés $F_n$ décroissante pour l'inclusion dans $(E,d)$ complet.
* si le diamètre des $F_n$ tend vers 0, facile de montrer que $\cap F_n$ n'est pas vide,
* si le diamètre des $F_n$ est infini, facile de trouver des exemples où $\cap F_n=\emptyset$ ($F_n=[n,+\infty[$)
* mais si les $F_n$ sont tous bornés sans pour autant que leur diamètre tende vers 0, peut-on affirmer que $\cap F_n\not=\emptyset$ ?
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Réponses

  • C'est vrai si, en plus d'être complet, l'espace est supposé "de Montel", c'est-à-dire si tout fermé borné est compact, comme dans $\R$ ou $\R^p$.
    Dans ce cas pour tout $n$ tu choisis $x_n \in F_n$. Ta suite $(x_n)$ n'est pas forcément de Cauchy mais elle admet une sous-suite convergente $(x_{n_k})$.
    Soit $l$ la limite des $(x_{n_k})$.
    $l$ appartient à l'intersection des $F_{n_k}$ mais, comme ta suite de fermés est décroissante, il appartient aussi à l'intersection des $F_n$.
    Je ne sais pas si c'est vrai dans le cas général, mais au moins ça veut dire qu'il faut chercher un contre-exemple dans des espaces plus compliqués que $\R^p$.
  • Sinon pour un contre-exemple qui n'est pas un EVT il suffit de prendre $\R$ munit de la distance discrète, celle définie par $d(x,y):=1$ si $x\neq y$ et $0$ sinon. Dans ce cas la suite de fermés $F_n=[n,+\infty[$ fait l'affaire car les $F_n$ sont bornés.
  • @raoul.S : Très bon exemple. En plus l'espace est bien complet puisque toute suite de Cauchy est stationnaire.
    Et moi qui me cassais la tête à chercher des contre-exemples dans des Banach de dimension infinie, je peux aller me rhabiller manu militari, lol.
  • c'est juste que des fois on ne pense pas tout de suite à des trucs plus terre à terre.
  • Si $F_1$ est borné, ils sont tous bornés ensuite, et si quoiqu'il arrive l'intersection est non vide, $F_1$ s'appelle "un compact" :-D

    Tu es donc en train de demander si tous les fermés bornés d'un espace complet quelconque sont compacts. Que tu trouves ou pas des exemples, je t'invite à faire ce petit jeu de jonglage inter-définitionnel qui ne mange pas grand pain, tu te sentiras plus en forme après. ;-)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Christophe : je ne te suis pas.
    Quand même, dans un evn de dimension infinie, la boule unité est fermée, bornée, et pas compacte ?
    Je me goure ?
  • Bien sûr, ce que je dis à elo, c'est que sa question est "est-ce que tous les fermés bornés sont compacts, partout, partout?"

    Posée comme ça, il aurait peut-être pris conscience lui-même de sa demande forte.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Christophe : sorry, j'ai vendu la mèche.

    En gros tu veux dire à Elo : ton exo est vrai ssi dans tout métrique complet, tous les fermés bornés sont compacts. Et moi je te casse ta baraque. Very profoundely desolated, lol.
  • Ne t'inquiète pas, j'ai l'impression que de toute façon, comme il avait ouvert le fil en enchainement d'un autre, il était depuis longtemps à mariner sur cette question.
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  • Christoiphe merci de ton très sympathique message
    je ne vois pas le lien entre ma question et le fait que les fermés bornés ne sont pas compacts dans toutes les galaxies
    pour ce qui est de ma question, voici un contrexemple trouvé ce matin en me réveillant, et un peu plus intéressant que ta réponse sarcastique...
    Dites moi si ça marche :
    $F_n={f_k,k\geq n}$
    avec $f_n(x)=a_n*sin(n x)$
    (on est dans $C([0,1],\mathbb{R}),||.||_{\infty}$ vous l'avez compris)
    si $a_n$ tend vers 0 on est obligé de rajouter la fonction nulle pour que les $F_n$ soient fermés.
    sinon si $(a_n)$ ne fait que décroître, il me semble que les $F_n$ sont fermés car la suite $(f_n)$ ne CV même pas simplement
    et l'intersection des $F_n$ est vide...
    qu'en pensez vous ?:-)
  • @elo : je t'explique le lien.
    Si, dans toutes les galaxies (disons dans tout métrique complet), tous les fermés bornés étaient compacts, alors la réponse à ton exo serait OUI, d'après la preuve que je t'ai donnée tout au début.
    Hélas, tous les fermés bornés ne sont pas compacts, comme le montre l'exemple de la boule unité fermée en dimension infinie.
    Certes, cela ne prouve rien mais, puisqu'en fait la réponse est NON, ça veut dire qu'il faut chercher un contre-exemple dans un espace où tous les fermés bornés ne sont pas compacts.
    A ce titre l'exemple de raoul est enrichissant : tu vois bien que l'espace entier est fermé (dans lui-même) et borné (par 1), et il n'est pas compact car si tu prends la suite définie par $u_n=n$, tu n'arriveras jamais à en extraire une sous-suite convergente puisque seules les suites stationnaires convergent.
    Je ne sais pas si ton exemple est bon (pas trop le temps de regarder), mais avant l'intervention de raoul je pensais effectivement à chercher un contre exemple dans l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$.
  • elo a écrit:
    et un peu plus intéressant que ta réponse sarcastique...

    Mais il n'y avait AUCUN SARCASME!!!!! Qu'est-ce que c'est que cette perception?

    Je t'ai fait remarquer l'équivalence entre 2 questions:

    1/ La tienne
    2/ Une classique

    Sachant que tu avais probablement entendu depuis bien longtemps parler du fait que la réponse à (2) est NON. Je souhaitais ainsi créer chez toi une émotion du genre "ah, bin oui, en fait, je le savais déjà avant même de demander"
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  • Salut Christophe
    je ne comprends pas très bien où tu veux en venir.
    O
    ui, si tous les fermés bornés étaient compacts la réponse serait oui,
    mais ce n'est pas le cas,
    et donc ?

    Sinon le contre-exemple non métrique proposé est cool certes,
    j'en ai proposé un autre je ne suis pas sûr mais j'ai l'impression qu'il est bon.
    Vincent
  • @Christophe : ça fait 1/2h que j'essaye de prouver proprement que si la réponse à l'exo d'elo était OUI, alors tous les fermés bornés seraient compacts... et je n'y arrive pas, ça m'énerve !
    Je suppose que l'exo est vrai, je me donne un fermé $F_0$, mettons de diamètre $1$, je me donne une suite $x_n$ d'éléments de $F_0$ et je veux montrer que cette suite a forcément une valeur d'adhérence.
    Pour ça il faut que je construise une suite de fermés emboîtés "adéquate" et que j'applique l'hypothèse. Et c'est là que je coince.
    Peux-tu me donner une piste ?
  • @elo : nos posts se sont croisés.
    Je te signale quand même que l'exemple de raoul est tout ce qu'il y a de métrique... et complet, en plus.
  • @elodouwen christophe te dit à sa façon que si la réponse à ta question ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2001634,2001634#msg-2001634 était "oui" alors ça impliquerait que tous les fermés bornés de ton espace sont compacts (et réciproquement d'ailleurs...). Effectivement c'est dommage de ne pas s'en apercevoir car comme il le dit ça montre que ta condition est forte.
    Et je crois que ton exemple est juste, mais un peu pénible de voir que les $F_n$ sont fermés.

    @Martial Soit $F$ un fermé borné d'en espace métrique complet. Soit $(x_n)_{\N}$ une suite quelconque de $F$. L'ensemble des valeurs d'adhérence de cette suite est donné par $\bigcap\limits_{n} \overline{\{x_k \;\vert\; k\geqslant n \}}$. Or les $ \overline{\{x_k \;\vert\; k\geqslant n \}}$ forment une suite décroissante de fermés et sont bornés car contenus dans $F$ et par la propriété de elodouwen leur intersection est non vide. Donc toute suite de $F$ a une valeur d'adhérence dans $F$, ce qui entraîne que $F$ est compact.

    PS. Moi aussi j'ai dû y réfléchir un petit moment j'avoue... :-D
  • Bien joué, Raoul.
    J'y étais presque, mais je me pourrissais la vie à coup de quantificateurs au lieu de raisonner de façon synthétique comme toi.
    Merci.

    Conclusion : elo, Christophe, toi et moi sommes trop forts ! A nous quatre on a réussi à démontrer l'équivalence entre 2 théorèmes faux.
    Plus précisément :
    1) elo a énoncé le th1.
    2) J'ai démontré que th2 $\Rightarrow$ th1 (partie facile).
    3) Christophe a annoncé que th1 $\Rightarrow$ th2 (partie un peu plus difficile).
    4) Tu as démontré le 3).
    Je pense qu'il nous faut continuer à collaborer car, c'est bien connu, on ne change pas une équipe qui gagne !
  • elo a écrit:
    Christophe je comprend pas très bien où tu veux en venir
    oui, si tous les fermés bornés étaient compact la réponse serait oui

    Ah non, ça je ne l'ai pas dit, c'est vrai certes, mais je ne l'ai pas dit. Je t'ai dit:

    "Si la réponse était oui alors tous les fermés bornés seraient compact"

    @Martial: pardon pour ne revenir que maintenant. Bon, super tu as été servi par Raoul.
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  • @Christophe : "@Martial: pardon pour ne revenir que maintenant. Bon, super tu as été servi par Raoul."

    Oui, et en plus j'ai bien compris, maintenant.

    En fait je me rends compte qu'en plus de l'équivalence entre deux théorèmes faux on a quand même démontré un résultat :
    Soit $(E,d)$ métrique complet. TFAE :
    (1) Toute famille dénombrable de fermés bornés emboîtés de $E$ a une intersection non vide.
    (2) Tout fermé borné de $E$ est compact.

    Bon, ça doit être un exo de niveau L2 mais c'est pas grave.
  • C'est dû au caractère métrique, ce n'est pas général. Ca provient du phénomène "célèbre" suivant:

    Soit $R$ un recouvrement d'un espace métrique compact. Il existe alors $e>0$ tel que toute boule de rayon $e$ est incluse ENTIEREMENT dans au moins l'un des ouverts de $R$.

    Si ce n'est pas le cas, tu as la contradiction suivante: soit une suite $u$ telle que pour chaque $n$, la boule de centre $u_n$ échappe à l'affirmation, alors n'importe laquelle de ses valeurs d'adhérence te conduit au paradis. Attention: inégalité triangulaire offensive dans ce phénomène.

    Le théorème académique connu et enregistré au "champ" théorème qui s'occupe de ça est celui qui dit que les précompacts complets sont compacts.
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  • J'ai résumé nos échanges ici :101734
  • J'ai retrouvé ceci dans mes notes.
    En fait c'est sur ma page mathoscope_compacts.
    Mais du coup je ne vois plus le lien entre "mes" fermés emboîtés et cette histoire de boules.101736
  • Tu as tout dit! Et tout écrit! Bravo!
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  • BW je connais.
    Mais c'est quoi BL ?
  • Je n'y connais rien en vocabulaire mais ça sent le

    Borel Lebesgue
    Bolzano - Weirstreiss
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  • Bonjour.
    J'arrive comme les carabiniers et je n'ai pas tout suivi, mais pour ce qui est de la question initiale, j'ai fait naguère un article dans Quadrature avec, dans un espace vectoriel normé complet, une suite décroissante de fermés bornés convexes, non vides, d'intersection vide. Ça s'appelait « Deux contre-exemples pour le prix d'un seul » parce que la même situation donnait aussi un exemple de distance non atteinte d'un point à un hyperplan fermé, dans ce même espace. Et je m'étais aperçu par la suite qu'il y avait là un troisième contre-exemple, mais j'ai oublié lequel. Tout ça doit être quelque part sur ce forum.

    Autre question.
    Comment appelle-t-on un espace métrique dans lequel tout borné fermé est compact ? D'après certains intervenants ce serait un espace de Montel, mais une recherche rapide sur Internet semble montrer que ce n'est pas la définition exacte (caractéristique) d'un tel espace. Il y a longtemps j'avais vu l'appellation « espace de Daniell », mais il ne semble pas non plus que ce soit ça. Pourtant un tel espace présente un certain intérêt, non ?

    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • @Chaurien : je me trompe peut-être. Un espace de Montel est peut-être un espace localement convexe (c'est-à-dire dont la topologie est définissable par une famille dénombrable de semi-normes) dans lequel tout fermé borné est compact. Mais ça doit revenir au même, puisque tout elc est métrisable.
    Mes souvenirs me disent qu'en dehors de $\R^n$ l'exemple canonique d'espace de Montel est $H(\Omega)$, où $\Omega$ est un ouvert de $\C$ et $H(\Omega)$ désigne les fonctions qui sont analytiques sur au moins $\Omega$, mais c'est sous toutes réserves...
  • @Chaurien
    J'ai trouvé cette page qui parle de ta publication
    https://www.ilemaths.net/sujet-element-de-norme-minimale-140629.html
    Seulement ça date de 1997, comment se procurer l'article ?

    Tu n'en as pas une version sur ton disque dur, que tu pourrais partager ici ?

    @Martial
    pourquoi est-ce équivalent 'localement convexe' (j'imagine que ça veut dire qu'il y a une base de voisinages convexes) et 'dont la topologie est définissable par une famille dénombrable de semi-normes' ?
  • @elo : non, je n'ai jamais entendu parler d'espaces pour lesquels tout point admet une base de voisinages convexes. C'est vrai que, en partant de notre expérience des localement compacts, on pourrait être tenté d'examiner cette propriété, mais ça ne me dit rien.
    A ma connaissance la seule définition est : "On appelle elc tout evt dont la topologie est définissable par une famille dénombrable de semi-normes". (Donc en particulier l'espace est métrisable, mais pas forcément normable).
  • @Chaurien: oui ce sont les espaces de Montel, mais ça n'est utile qu'avec les espaces vectoriels topologiques où $<<X$ est borné$>>$ est une abréviation de:
    pour tout voisinage $V$ de $0$, il existe un entier $n$ tel que $nV \supset X$

    La notion est de peu d'intérêt pour les espaces métriques généraux, car avec peu d'efforts sur le changement de la distance on peut rendre l'espace entier borné.
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  • @Christophe : à ce propos, te souviens-tu de la définition de "bornologique" ?
    Il me semble que c'est "tout bornivore est voisinage de $0$", mais c'est quoi, déjà, un bornivore ?

    Pour te motiver : si tu retrouves la définition de bornivore j'ai une amecdote amusante...
  • Un bornivore est un ensemble qui absorbe tous les bornés... mais qu'est-ce que ça veut dire exactement "absorber tous les bornés" ?
    Si quelqu'un a la collection complète des Bourbaki dans ses archives, le quelqu'un en question pourrait nous aider.
  • Ca doit vouloir dire :


    $X absorbe Y$

    est une abréviation de

    il existe un homothétique translaté $X'$ de $X$ tel que $Y\subset X'$
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  • Bon, alors voilà l'amecdote.
    En 79-80 j'ai suivi le module "Espaces vectoriels topologiques" en maîtrise à Paris 6. C'était Lelong qui faisait les cours, et Mazet les TD. Je n'ai jamais mis les pieds en cours, car le prof se contentait de recopier son poly (qui était très bien fait au demeurant) au tableau. Par contre les TD de Mazet étaient très intéressants. Il rappelait l'essentiel du cours et traitait des exercices d'un haut niveau. Bon, c'est lui qui corrigeait tout, donc le TD n'avait de TD que le nom, mais cela ne me gênait pas.
    Un jour il donne un DM (qu'à ma connaissance personne n'a rendu) :
    0) Prérequis : on dit qu'un evt $E$ est bornologique si tout bornivore est voisinage de $0$, un bornivore étant un truc qui absorbe tous les bornés, probablement dans le sens donné par Christophe.
    1) Montrer qu'un produit de 2 bornologiques est bornologique.
    2) Montrer qu'un produit de $\aleph_0$ bornologiques est bornologique.
    Blablaba.
    7) Montrer que si $\kappa$ est un cardinal et si on sait que tout produit de $\kappa$ bornologiques est bornologique, alors tout produit de $2^{\kappa}$ bornologiques est bornologique.
    Blablaba
    19) On appelle cardinal mesurable tout cardinal blablabla.
    Montrer que Blablabla.
    Blablabla
    28) Soit $\kappa$ un cardinal.
    Montrer que TFAE :
    (1) $\kappa$ est mesurable.
    (2) Il existe $\kappa$ espaces bornologiques dont le produit n'est pas bornologique.

    ATTENTION : je crois que ce qu'il appelait "mesurable", c'est ce que Choquet appelle "2-mesurable", i.e. seulement un cardinal qui porte un ultrafiltre $\aleph_1$-complet non principal.
    C'est logique, car il est clair que si $\kappa$ est 2-mesurable, alors tous ses successeurs le sont.
    Et c'est pareil pour le coup des produits pas bornologiques : si $\lambda > \kappa$ il suffit de rallonger la liste en la complétant par des singletons.
  • Audacieux comme DM :-D
  • @Poirot : d'autant plus audacieux que quelque part dans le DM Mazet écrivait : "la possibilité *** de l'existence d'un tel cardinal est laissée aux seuls logiciens".

    *** pour ne pas dire "la consistance"
  • C'est intéressant mais un peu flou, merci, questions:

    1/ ok, disons que absorber est le sens que j'ai donné. Mais pour avoir le mot "borné", il faut se servir de "absorber". Donc là, c'est spécial parce que ça dit que bornivore = on a mis tous les ouverts possibles, mais en partant des dits ouverts... Why not? Mais besoin de confirmation.

    2/ TFAE?????
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  • @Christophe :
    1) Je ne sais plus trop, ça remonte 40 ans en arrière...
    2) TFAE : The Following Are Equivalent.
  • En tout cas, je trouve ça sidérant et bien dommage que ces savoirs-faire se soient perdus. Je ne sais plus trop qui parlent encore de ça en 2020, alors que c'étaient dans le tumulte de la forte richesse de production des années 80.

    Comme je vais plein de choses (en pensées, pas corporelles), si tu as la correction, je suis preneur, car je n'ai strictement aucune idée de comment faire, même si en y réfléchissant j'aurais évidemment plus de chance de trouver vue ma familiarité avec les ultrafiltres et les grands cardinaux, mais c'est un résultats qui de toute façon me semble vraiment spectaculaire et à donner en exemple.

    Il y a un autre et c'est tout, avec le tien ça m'en fera deux dans ma collection:

    les cardinaux des espaces $T_1$ quasicompacts où tout singleton est intersection dénombrable d'ouverts ont comme borne supérieure le premier cardinal mesurable.
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  • @Martial, @CC j'ai le Bourbaki EVT

    Voici les définitions :

    1) Dans un EVT on dit que $A$ absorbe $B$ s'il existe $\alpha>0$ tel que $B\subset \lambda A$ pour tout $|\lambda|\geqslant \alpha$

    2) On dit qu'une partie est bornée si elle est absorbée par tout voisinage de $0$

    3) Pour bornivore il en parle juste dans un exo mais (ici) il y a la définition à laquelle on pourrait penser : un bornivore est un sous-ensemble qui absorbe tous les bornés.

    Remarque importante : étant donné qu'il existe un système fondamental de voisinage équilibrés de $0$ la déf 2) est équivalente à dire : $A$ est borné si pour tout voisinage $V$ de $0$, il existe $\lambda\in \mathbb{K}$ tel quel $A\subset \lambda V$
  • MERCI RAOUL !!!
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  • @Raoul : merci pour ces définitions claires.
    La possession du Bourbaki evt est une grande richesse en ces temps obscurs dont parle Christophe, où plus personne ne s'intéresse à rien.

    Cet ouvrage est-il lisible même pas si on n'a pas toute la collection des Bourbaki dans sa bibliothèque ?

    @Christophe : tu penses bien que je n'ai pas la correction de ce DM. En gros il n'y a que depuis 2000 que j'arrive à sauvegarder la plupart de mes affaires. De toutes façons je ne pense pas que Mazet ait un jour distribué une correction.
    A la limite l'énoncé te suffirait probablement, car il y avait quand même des indications, la question n'était pas posée cash.
    Mais pour retrouver ledit énoncé, bonjour !!!
  • Quelqu'un connaît-il le prénom de Mazet ?
  • En tout cas Merci!!
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  • Martial a écrit:
    Cet ouvrage est-il lisible même pas si on n'a pas toute la collection des Bourbaki dans sa bibliothèque ?

    Je n'ai lu que les passages qui m'intéressaient à l'époque mais je pense que la majeure partie du bouquin est lisible. Par contre avoir les deux Bourbaki de topologie est utile pour certains passages.
  • OK, merci Raoul
  • @Raoul : je viens d'aller faire un tour sur amazon, les prix sont prohibitifs.
    50 € pour evt, je n'ai pas regardé le reste !
  • Oui, j'ai vu et acheté "pire".
  • @Martial : C'est Pierre Mazet (c'était mon prof d'analyse complexe + distributions à Jussieu).
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