Déterminant d'une composition
Bonsoir,
Je souhaite montrer que :
Etant donné 2 endomorphismes $f$ et $g$ de $E$ (de dimension $n$) on a :
$\det (f \circ g)= \det f \ \det g$
Soit $e=(e_1, \cdots e_n)$ une base de $E$.
$\det (f \circ g)= \det_e (f \circ g(e_1), \cdots ,f \circ g(e_n)) = \det_e (f(g(e_1)), \cdots f(g(e_n))$
Ici je ne vois pas comment poursuivre et quel résultat utiliser.
Je souhaite montrer que :
Etant donné 2 endomorphismes $f$ et $g$ de $E$ (de dimension $n$) on a :
$\det (f \circ g)= \det f \ \det g$
Soit $e=(e_1, \cdots e_n)$ une base de $E$.
$\det (f \circ g)= \det_e (f \circ g(e_1), \cdots ,f \circ g(e_n)) = \det_e (f(g(e_1)), \cdots f(g(e_n))$
Ici je ne vois pas comment poursuivre et quel résultat utiliser.
Réponses
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Quelle est la définition de déterminant que tu as ?
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Théorème :
Soit $(e_1, \cdots e_n)$ une base de $E$. Il existe une unique forme $n$ linéaire alternée $\varphi_0$ sur $E$ telle que $\varphi_0(e_1, \cdots e_n)=1$.
Toute forme $n$ linéaire alternée sur $E$ est proportionnelle à $\varphi_0$.
Définition :
Soit $e$ une base de $E$ et $\varphi_0$ l'unique forme $n$ linéaire alternée sur $E$ telle que $\varphi_0(e)=1$. Si $(u_1, \cdots u_n)$ est une famille de vecteurs de $E$, le scalaire $\varphi_0(u_1, \cdots u_n)$ s'appelle déterminant de la famille de vecteur $(u_1, \cdots u_n)$ par rapport à la base $e$ et se note $\det_e (u_1, \cdots u_n)$
On appelle $\det_e$ l'application de $E^n$ dans $\K$ définie par : $(u_1, \cdots u_n) \mapsto \det_e (u_1, \cdots u_n)$ -
OK alors il te suffit de montrer que l'application définie par $(b_1,...,b_n)\mapsto \det_e (f(b_1), \cdots ,f(b_n))$ est une forme $n$ linéaire alternée. Ensuite tu appliques la deuxième partie de ton théorème.
-
Elle est alternée car le déterminant est une forme linéaire alternée.
On fixe toutes les variables sauf $b_1$ on a $\det_e (f(\alpha b_1 + \beta b_1 '), \cdots f(b_n)) = \det_e (\alpha f(b_1)+ \beta f(b_1 '), \cdots b_n)= \cdots $ il suffit d'appliquer la $n$ linéarité du déterminant.
Je n'arrive pas à utiliser la proportionnalité et le $\varphi_0$. -
la deuxième partie de ton théorème et ta définition te disent qu'il existe une constante $\lambda$ (la constante de proportionnalité quoi) telle que pour tout n-uple $(b_1,...,b_n)$, $\det_e (f(b_1), \cdots ,f(b_n))=\lambda\cdot \det_e(b_1,...,b_n)$.
Ensuite en choisissant les $b_1,...,b_n$ judicieusement tu peux en déduire $\lambda$. Tu termines en appliquant la formule obtenue au n-uple $g(e_1),\cdots ,g(e_n)$.
Essaie de terminer ceci sans aucune autre aide. -
Merci, j'ai compris.
Il suffit de choisir $(b_1, \cdots b_n)=(e_1, \cdots e_n)$ ce qui donne $\det_e (f(e_1), \cdots f(e_n)) = \lambda \det_e (e_1, \cdots e_n)= \lambda= \det f$ -
Non, ce n'est pas à cette famille de vecteurs qu'on l'applique (regarde ce que tu cherches à montrer).
Edite: effectivement (cf Raoul.S), je dis n'importe quoi, pardon ! -
J'ai une autre question sur le sujet, une proposition qui suite.
Etant donné une matrice carrée $A$ d'ordre $n$, on a $\det A= \det ({}^t\!A)$
Les applications $(C_1, \cdots C_n) \mapsto \det(C_1, \cdots C_n)$ et $(C_1, \cdots C_n) \mapsto \det \left( \begin{array}{c}
^tC_1 \\
^tC_2 \\
\vdots \\
^tC_n \\ \end{array} \right)$ sont des formes $n$ linéaires alternées non nulles sur l'espace vectoriel des matrices colonnes.
Pourquoi elles sont non nulles ? C'est quoi l'espace vectoriel des matrices colonnes ?
Elles sont donc proportionnelles, ce qui prouve l'existence d'un scalaire $\lambda$ tel que $\forall A \in M_n(\K) \ \det A= \lambda \det ({}^t\!A)$
En prenant $A=I_n$ on en déduit $\lambda=1$.
Pourquoi elles sont proportionnelles ? -
As-tu réfléchi un minimum à une seule de ces questions ? Comment ça "c'est quoi l'EV des matrices colonnes ?" ? Tu es sérieux ?
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"Elles sont non nulles" signifie qu'elles ne sont pas identiquement nulle (et non pas qu'elles ne s'annulent pas).
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Ne l'aide pas trop, quand même... il est censé savoir ça sans qu'on lui dise !
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Oui j'ai séché sur cette démonstration hier soir et j'y suis resté 20 minutes.
Et 10 minutes aujourd'hui je ne trouve rien.
Comment sait-on qu'elles ne sont pas nulles ? -
Je ne vois pas le rapport entre les 2.
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Alors réfléchis-y plus longtemps. C'est on ne peut plus trivial. J'espère que personne ne te donnera la réponse avant que tu fasses toi-même un effort.
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OShine, pour ta question "c'est quoi l'espace vectoriel des matrices colonnes ?", la réponse est... dans la question.
Et si ce n'est pas suffisant, regarde la définition des applications, tu devrais trouver sans problème l'espace de départ et répondre à ta question. Si ce n'est pas le cas, revois la définition de forme $n$-linéaire. -
Ok j'ai une idée.
Prendre la base canonique $(e_1, \cdots e_n)$ mais j'ai un gros doute $e_i$ est-il un vecteur colonne ou ligne ? -
C’est quoi la « base canonique »?
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Avant de poursuivre, détermine clairement l'ensemble de départ (et celui d'arrivée tant qu'on y est) de tes deux applications $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \dots$ de ce message.
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Bonsoir,
O Shine : dans tous les messages que tu as reçus, te souviens-tu du $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{n1}(\R)$ ? Quel est-il ? Saurais-tu deviner à quoi pourrait bien correspondre le $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{1n}(\R)$ ?
N'aurais-tu pas vu également, sans peut-être l'avoir compris, que le $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{n1}(\R)$ est canoniquement isomorphe au $\R$-espace vectoriel $\R^n$ ?
Allons plus loin... Le $\R$-espace vectoriel $\mathcal{M}_{11}(\R)$, constitué des matrices à une ligne et une colonne (ça existe !), est canoniquement isomorphe au $\R$-espace vectoriel $\R$ ; ce qui permet au mathématicien (mais pas que !) d'identifier la matrice $(a)\in\mathcal{M}_{11}(\R)$ au réel $a$. D'ailleurs, cette identification, loin d'être anodine, permet de comprendre que\[\left(\begin{array}{cccccccc}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\\\end{array}\right)=\sum_{k=1}^n{}a_k\,x_k\]où $\left(\begin{array}{cccccccc}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cccccccc}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{array}\right)\in\mathcal{M}_{1n}(\R)$.
Combien de fois devons-nous nous répéter ?
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
@Amathoué
La base $(e_1, \cdots e_n)$ ou $e_i=(0, \cdots , 1 , 0 \cdots 0)$ le 1 étant situé à la ième colonne.
C'est une base de $\R^n$ car c'est une famille libre de $n$ éléments et $\dim \R^n =n$.
$M_{n1} (\R)$ c'est l'ensemble des matrices à $n$ lignes et $1$ colonne donc l'ensemble des matrices colonnes.
L'ensemble de départ des applications est $M_{n1}(\R) ^n$ et l'ensemble d'arrivée $\K$.
Mais je ne vois pas comment résoudre ma question de départ. -
Ça répond déjà à ta question "c'est quoi l'espace vectoriel des matrices colonnes ?".
Pour la question "pourquoi elles sont non nulles ?", je te redonne la même indication qu'ici : dire que des applications sont non-nulles signifie qu'elles ne sont pas identiquement nulles. Ça ne signifie pas qu'elles ne peuvent pas s'annuler.
Autrement dit : il existe au moins un antécédent qui a une image non nulle par l'application.
Si avec ça, tu ne trouves pas, comme Homo Topi, je te renvoie à ce message (que tu as posté), et qui contient toutes les informations nécessaires pour répondre à cette question ainsi qu'à la dernière que tu as posée ("pourquoi elles sont proportionnelles ?"). -
Je veux prendre les vecteurs de la base canonique mais ça revient à ma question : $e_1 , \cdots e_n$ de la base canonique sont des vecteurs ligne ou colonne ?
Pourquoi l'écriture du déterminant dans la deuxième application est sous forme de colonne alors que dans la première sous forme de ligne ? -
Bonjour Oshine,
Ne cherches-tu pas à montrer que $\det(A)=\det({}^T\!\!A)$ ? Dans ce cas, quel est le rapport entre une matrice $A$ et les vecteurs colonnes $C_i$ ? -
OShine a écrit:Je veux prendre les vecteurs de la base canonique mais ça revient à ma question : $e_1 , \cdots e_n$ de la base canonique sont des vecteurs ligne ou colonne ?
La réponse revient à ce qu'on t'a déjà dit ici et là. Et tu as d'ailleurs répondu en partie à ta question ici en disant :OShine a écrit:L'ensemble de départ des applications est $M_{n1}(\R) ^n$ et l'ensemble d'arrivée $\K$.
Si la tronche des vecteurs de la base canonique de $E=M_{n1}(\R) ^n$ n'est pas claire pour toi, inutile d'aller plus loin, reprends le chapitre sur les matrices... et peut-être même le 1er chapitre d'algèbre linéaire si tu n'as toujours pas compris qu'un vecteur $u$ d'un espace vectoriel $E$ n'est rien d'autre qu'un habitant de $E$. -
Je choisis $(C_1, \cdots C_n)=(e_1, \cdots e_n)$ et donc $\det_e (e_1, \cdots e_n)=1$ la première application est donc non nulle.
Pour la seconde, je n'ai jamais manipulé le déterminant sous cette forme.
J'ai compris pourquoi elles sont proportionnelles en tout cas. -
Pour la seconde c’est un peu la même chose. Si on regarde bien ça reste le déterminant d’une matrice, il suffit donc de choisir les vecteurs C pour former la matrice identité. En revanche tu n’as pas dit qui étaient tes e.
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Il me semble plus simple pour démontrer que $\det(A)=\det({}^t\!A)$ d'utiliser $\det(A)=\sum_{\sigma} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$,.. Mais bon à toi de voir... Surtout si ce n'est pas fait dans ton livre, ça te ferait réfléchir.
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OShine : je te ferai un petit topo sur les vecteurs lignes/colonnes en message privé plus tard, là je suis sur mon téléphone, pour faire du LateX c'est pas top.
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Alexique mon livre donne la 2ème méthode aussi.
La deuxième application si on l'applique à la même famille, donne le déterminant det (1, 0,....,0)
(0,1,0,....0)
.................
(0,...........,0)
Ça vaut 1 car $\det_e (e_1, \cdots e_n) = \det_e (e^T)$ ? -
C'est bon où je n'ai pas compris ?
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Rebelotte, si tu demandes, c'est que ce n'est pas bon. Un "oui" ne servira à rien.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Du coup je ne sais pas justifier que l'application $(C_1, \cdots C_n) \mapsto \det \left( \begin{array}{c} ^tC_1 \\ ^tC_2 \\ \vdots \\ ^tC_n \\ \end{array} \right)$ est non nulle.
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Prend des $C_i$ particuliers...
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Voilà qui est clair et il n'a jamais été facile de justifier l'existence d'une forme alternée non nulle de ce type. Tu n'as aucun souci à te faire à prendre le temps de penser à ça.
Ce sont les gens peu compétents qui vont avoir le réflexe de trouver ça facile. Les forts savent "qu'ils le savent d'avance, mais que c'est difficile", c'est ça toute la différence.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Précision :\[v\in\mathcal{M}_{n1}(\R)\Leftrightarrow{}^tv\in\mathcal{M}_{1n}(\R)\]Or,\[C_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\\vdots\\0\\\end{array}\right)\Leftrightarrow{}^tC_1=\left(\begin{array}{cccccccc}1&0&\cdots&0\end{array}\right)\text{, et }C_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\\\vdots\\0\\\end{array}\right)\Leftrightarrow{}^tC_2=\left(\begin{array}{cccccccc}0&1&\cdots&0\end{array}\right)\text{, et }(\cdots)\]Donc, (...) Je te laisse terminer !
Bonne nuit !
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Merci et donc $f((C_1, \cdots C_n) )= \det \left( \begin{array}{c} (1,0, ...,0) \\ (0,1,...,0) \\ \vdots \\ (0,...,0,1) \\ \end{array} \right)$
J'ai vu que $\det_e (e_1, \cdots e_n)=1$ mais ici ce sont des vecteurs ligne et pas des colonnes.
J'ai aussi vu juste avant que le déterminant est une forme alternée des lignes.
Je ne vois pas comment conclure. -
Donc tu as lu tout mon topo en message privé, tu m'as dit "c'est bon" mais en fait, tu n'as rien compris à ce que j'ai écrit.
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Tu n'as pas parlé de déterminant.
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Ne vois-tu pas qu’avec tes vecteurs $e_i$, en ligne ou en colonne ça donne la même matrice ?
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Si, brièvement, mais, ce n'est pas ça le problème. Je vais t'expliquer.
Tu fais une erreur d'interprétation toute bête. Qui est peut-être un peu la faute du livre, aussi.
On te dit de regarder le déterminant de $\begin{pmatrix} ^t C_1 \\ \vdots \\ ^t C_n \end{pmatrix}$. Pour toi, le déterminant, c'est le déterminant d'une famille de vecteurs. On te donne des matrices colonnes, les transposées sont des matrices lignes, donc toi tu penses "vecteur colonne, vecteur ligne". Je t'ai dit que ça n'existe pas. Un vecteur, c'est un vecteur. Un truc colonne ou un truc ligne, c'est la matrice d'un vecteur.
Sauf que dans ton bouquin, là, ils parlent du déterminant d'une matrice, en fait, pas d'une famille de vecteurs. Pour rappel, une matrice, ce n'est pas une famille de vecteurs. C'est une famille de matrices colonnes qu'on a collées ensemble, et ces matrices colonnes correspondent canoniquement à des vecteurs de $\R^n$, certes, mais ce n'est pas pareil. C'est via cette identification canonique qu'on définit le déterminant d'une matrice, mais je ne sais pas si c'est précisé dans ton bouquin.
La transposée d'un vecteur, c'est quoi ? Je ne connais pas, moi. La transposée d'une matrice, si.
Donc quand ils te donnent $C_1,...,C_n$, là. Ils écrivent même que les $C_k$ sont des matrices colonnes, donc les $^t C_k$ sont des matrices lignes. Et du coup, ben, $\det \begin{pmatrix} C_1 & \dots & C_n \end{pmatrix}$, c'est le déterminant d'une matrice dont les colonnes sont les $C_k$. Et de même, $\det \begin{pmatrix} ^t C_1 \\ \vdots \\ ^tC_n \end{pmatrix}$, c'est le déterminant d'une matrice dont les lignes sont les $^t C_k$. Pas d'une famille de "vecteurs lignes", puisque ça n'existe pas.
Donc quand on t'a dit de regarder $\det_e(e)$, et que tu parles de transposées des vecteurs de la base $e$, ça ne marche pas parce que tu parles d'objets qui ne sont pas définis. MAIS on identifie canoniquement un vecteur de $e$ avec une matrice (ligne ou colonne) type $\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$ etc.
Donc si $(e_1,...,e_n)$ c'est ta base canonique de $\R^n$, ben, $f(e_1,...,e_n)$, ils veulent te le faire écrire comme le déterminant d'une certaine matrice. Laquelle ? Ben, la matrice dont les colonnes sont les matrices-colonnes des $e_k$ dans la base $(e_1,...,e_n)$. Devine qui c'est, ça... la matrice identité.
L'erreur que tu as faite, c'est d'écrire une matrice avec des "vecteurs lignes" entre parenthèses dedans. Alors que ce que ton livre pense quand il écrit $\det \begin{pmatrix} ^t C_1 \\ \vdots \\ ^t C_n \end{pmatrix}$, c'est "déterminant d'une matrice dont les lignes sont les $^t C_k$. Quand tu as essayé de faire ça avec la base canonique, tu as oublié le passage des vecteurs de ta base canonique à des matrices-lignes de ces vecteurs dans une base (dans la base canonique, pour le coup).
Il n'y a jamais eu de $\det \begin{pmatrix} (1,0,...,0) \\ \vdots \\ (0,...,0,1) \end{pmatrix}$. C'est $\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & 1 \end{pmatrix}$ depuis le début. -
Merci infiniment Homo Topi vous m'avez enfin débloqué (:P)
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Bonjour!
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