CVU avec continuité en un seul point

bonjour
si $(f_n)$ CVU vers $f$ et que les $f_n$ sont toutes continues en 0 sans hypothèse de continuité ailleurs ;
peut-on affirmer que $f$ est continue en 0 ?

Réponses

  • Oui bien sur. Tu fixe $\varepsilon>0$ et tu écris par inégalité triangulaire:
    $$\vert f(x)-f(0)\vert\leq \vert f_N(x)-f(x)\vert+\vert f_N(x)-f_N(0)\vert+\vert f_N(0)-f(0)\vert.$$
    Ensuite tu choisi $N$ tel que (possible par convergence uniforme)
    $$\vert f_N(x)-f(x)\vert+\vert f_N(0)-f(0)\vert\leq 2\| f_N-f\|_{\infty}\leq \frac{\varepsilon}{2},$$
    puis tu choisi $\delta>0$ tel que (possible par continuité en $0$) pour tout $\vert x\vert\leq \delta$
    $$\vert f_N(x)-f_N(0)\vert\leq \frac{\varepsilon}{2},$$
    et tu as fini.
  • Si tu connais le théorème d' interversion des limites c'est immédiat.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


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