Une fonction de Darboux

Bonjour
Je bloque sur une toute petite chose.

Je pose $f(x)=x^2\sin(1/x)$ et $f(0)=0$, exemple classique de dérivabilité en 0 avec $f'(x)$ qui n'a pas de limite en 0.
Je prépare une petit vidéo sur la continuité, Darboux, Hölder etc.
Je pose, à l'instar de Darboux, $s(x)=\sum_{n>0}\frac{1}{n^2}f(\sin(n\pi x))$
C'est normalement CV.
Maintenant, la série des dérivées me paraît aussi CVN (sur tout compact) car :
\begin{align*}
u'_n (x) &= \left( \frac{1}{n^3} f (\sin (nx \pi)) \right)'\\
& = \frac{\pi x}{n^2} \cos (nx \pi) f' (\sin (nx \pi))\\
&= \frac{\pi}{n^2} \cos (nx \pi) \left[ 2 g (\sin (nx \pi)) - \cos
\frac{1}{(\sin (nx \pi))} \right],& \text{si } n \notin \tfrac{1}{x} \mathbb{Z}~\\

&= 0,& \text{si } n \in \tfrac{1}{x} \mathbb{Z},

\end{align*} or cette $s'$ est censée être un exemple de dérivée pas beaucoup continue... où ai-je mal regardé ?

Réponses

  • Bonjour, peux-tu revoir ta question? Il y a un $g$ qui n'est pas défini, un $\sin$ qui n'a pas de variable... et d'autres problèmes encore.
  • Oui pardon j'ai mis du temps à faire le $\LaTeX$ et j'ai pas vu.

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    bonjour
    Je bloque sur une toute petite chose
    je pose $f(x)=x^2\times\sin(1/x)$ et $f(0)=0$, exemple classique de dérivabilité en 0 avec $f'(x)$ qui n'a pas de limite en 0.

    Je pose, à l'instar de Darboux, $s(x)=\sum_{n\geq0}\frac{1}{n^2}f(sin(n\pi x))$
    C'est normalement CV.
    Maintenant, la série des dérivées me paraît aussi CVN (sur tout compact) car :

    $ u'_n (x) = \left( \frac{1}{n^3} f (\sin (nx \pi)) \right)'$

    $ = \frac{\pi x}{n^2} \cos (nx \pi) f' (\sin (nx \pi))$

    $= O\left(\frac{\pi}{n^2}\right)\text{ si } n \notin \frac{1}{x} \mathbb{Z}$

    $= 0 \text{ si } n \in \frac{1}{x} \mathbb{Z}$

    or cette $s'$ est censée être un exemple de dérivée pas "beaucoup" continue... où ai-je mal regardé ?
  • Finalement je me suis partiellement désembrouillé tout seul.
    J'ai la fonction suivante : $$
    f(x)=\sum_{n\geq0}u_n(x),$$ avec $\quad
    u_n(x)=\dfrac{1}{n^2}\times\cos(n x\pi)\times\phi'(\sin(n x\pi)),\ $ et où $
    \phi(x)=x^2\sin\dfrac{1}{x}.$
    Il est clair que pour $x=\dfrac{p}{q}$ donné, chaque $u_{q m}$ est discontinue en $x$. Mais comment prouver que en un tel $x$, $f$ est discontinue ? Les discontinuités pourraient se "compenser".
    C'est là que je bloque.
  • Je me commente tout seul, désolé si j'envahis le forum...
    Peut être que Wikipedia s'est trompé... C'est là que j'avais trouvé l'exemple que je cite.
    J'ai trouvé mieux dans le Gourdon et là ça marche et c'est ultra rigoureux.
    Je n'ai plus qu'à préparer, je reviendrai dès que ma vidéo sur ce thème sera prête.
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