Faiblement dérivable => holderienne

Bonjour
j'essaie de me faire un résumé de ce sujet : définition de la dérivée faible et une petite démo.
Je ne suis pas trop sûr de moi :
* Faut-il exiger $\varphi C^\infty$ ou bien est-ce que $C^1$ suffit ?
* Mon idée de prendre des composantes connexes de $\Omega$ est-elle vraiment utile ?
* mais surtout : pourquoi $g$ serait-elle $L^p$ ??? Ça, je n'arrive pas à voir
* d'autre part si vous avez des suggestions sur ce que je rédige en première partie je suis preneur. J'ai découvert les fonctions höldériennes hier.
Merci à vous surtout pour la question $g\in L^p$
Vincent
Dérivation faible
Soit $f \in L^1 (\Omega \subset \mathbb{R})$, on dit que $g$ est la dérivée faible de $h$ ssi $\forall \varphi C^{\infty}$ à support compact, on a $\int_{\Omega} f \varphi' = \int_{\Omega} g\varphi$.

L'intérêt :
* Si $f$ est $C^1$ (dérivable ?), la dérivée faible coïncide avec la dérivée classique.
* Si $f$ est non dérivable, on peut parfois définir quand même sa fonction dérivée. Par exemple, la dérivée de $| x |$ est une sorte de fonction de Heaviside $f (x) = \frac{x}{| x |}$ et ce qu'on veut en 0.
* Si $f$ n'admet pas de dérivée qui puisse être une fonction bien définie, ou si $f$ elle-même n'est pas une fonction, le principe de dérivation faible peut se généraliser (cf les distributions).
Proposition
Si $f \in L^p$ est faiblement dérivable, alors elle est $1 - \frac{1}{p}$ höldérienne (donc continue).

Preuve
Supposons que $\Omega$ est un intervalle (autrement dit : travaillons sur chaque composante connexe de $\Omega$).
Déjà montrons que pour tous $x, y \in \Omega$ on a $f (x) = f (y) +\int_y^x g (t) \rm{d} t$.
* En effet, en intégrant par $\varphi'$ à gauche on a $\int f\varphi' = \int g \varphi$ par hypothèse sur $f$ ;
* et à droite on a $0 + \int g \varphi$ (par ipp). Et c'est vrai pour toute $\varphi$ cqfd.
Ensuite, appliquons l'inégalité de Hölder à $f (x) - f (y) =\int_y^x \{ g (t) \times 1 \} \rm{d} t$ ce qui donne : \[
| f (x) - f (y) | \leqslant \| g \|_p \times | x - y |^{1 - \frac{1}{p}}.

\]
On retrouve le fait que si $f$ est classiquement dérivable, alors elle est lipschitzienne sur tout compact (car continue donc $L^{\infty}$ sur tout compact et on applique la proposition à $p = \infty$).

Réponses

  • D’après wiki ce que tu veux démontrer est intégré dans le définition de la dérivée faible https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_à_dérivée_faible
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • supp
  • Side le signe - est clairement un oubli dans sa definition
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • ok le signe moins est effectivement oublié, et d'autre part tout simplement, si $f$ et $g$ sont $L^p$ on applique l'inégalité, il n'y a pas d'implication à chercher.
    Merci de vos retours
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.