Polynômes symétriques et plus ...

jaccuzzi

Bonjour
J'ai un problème et je ne sais même pas si c'est de l'algèbre. J'aimerais avoir votre avis, une intuition ou des pointeurs (une démonstration, je prends aussi:)) sur ce problème qui m'occupe depuis un bon moment! Ca parait long mais c'est juste pour les notations... que j'espère suffisamment claires. Merci à vous.

Soit $\lambda\in \mathbb{N}$. Je propose d'élargir naturellement la notion classique de polynôme symétrique à la définition suivante.

Définition. J'appelle $X_1,\ldots,X_\lambda$ les tuples d'indéterminées définis par $X_i=(X_{i1},\ldots,X_{i\lambda})$. Un polynome $p$ est dit $\lambda$-symétrique si pour toute permutation $\sigma$ de $\{1,\ldots,\lambda\}$, $$p(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(1)})=p(X_1,\ldots,X_{\lambda}).

$$ Soit $V=(V_1,\ldots,V_\lambda)$ un tuple d'indéterminées et je considère le polynôme $$
\phi=\prod_{i=1}^\lambda (X_{i1}V_1+\ldots+ X_{i\lambda}V_\lambda).

$$ En fixant $X_1,\ldots,X_\lambda$, $\phi$ peut être vu comme un polynome de degré $\lambda$ défini sur $V$ où le coefficient de chaque monome est un polynome $\lambda$-symétrique défini sur $X_1,\ldots,X_\lambda$. Cependant le nombre de monomes est exponentielle par rapport à $\lambda$.

Question Informelle. Existe-t-il une façon concise de représenter $\phi$ (ou un multiple) qu'avec des polynômes $\lambda$-symétriques ?

Formalisation. Soit $p_1,\ldots,p_t$ des polynomes $\lambda$-symétriques. J'aimerais montrer qu'il n'existe pas de petit circuit arithmétique $\psi$, i.e. dont la taille est polynomiale en $\lambda$, tel que $\psi(p_1,\ldots,p_t,V)$ est un multiple non-nul de $\phi$.

Un résultat/Une question. Je pense avoir montré qu'il n'existe pas de circuit arithmétique $\psi$ de taille polynomiale en $\lambda$ tel que $\psi(p_1,\ldots,p_t,V)=\phi$. Qu'en est-il pour les multiples de $\phi$ ?