Équation cartésienne droite

Bonjour à tous
Quel est l'intérêt pour un élève de seconde ou de première d'utiliser les équations cartésiennes de droite dans le plan plutôt que les équations réduites ?
Le seul argument que j'ai pu trouver c'est que toutes les droites du plan n'ont pas une équation réduite de la forme y=mx+p. Cela me semble un peu léger comme justification à donner à des élèves. On pourrait leur dire que toute droite du plan a une équation du type y=mx+p ou x=c.

Qu'en pensez-vous ?
Robert

Réponses

  • Vecteur normal ? Vecteur directeur ?
    Comme me l'a appris ma maîtresse de CE2, tata Suzanne, dite Susu, $\{l,é,o\} \cap \{t,o,t,o\}=\{o\}$
  • Ça unifie les équations réduites en un seul type d’équation (à condition que deux paramètres ne soient pas tous nuls).
    Autre raison, quand on a un problème qui se résout avec ce type d’équation, on a en général des équations du type ax+by=c (du genre deux croissants et trois pains au chocolat coûtent 4,30 €) ou ax+by+c=0 (quand on veut identifier une fonction du second degré à l’aide de trois points).
    The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
            -- Harris, Sidney J.
  • Ca se généralise plus facilement pour les équations de plans, et plus généralement d'hyperplans.
  • Cela prépare aussi le terrain pour aborder d'autres types d'équations. Je pense par exemple aux cercles qui ne peuvent pas être réalisés comme graphes d'une fonction.
  • Cela permet d'interpréter géométriquement l'ensemble des solutions d'un système d'équations linéaires à deux inconnues comme l'intersection des droites correspondantes dans le plan muni d'un repère. Généralisation s'il y a $n$ inconnues : intersection d'une famille d'hyperplans d'un espace affine de dimension $n$. Si l'on sait lire un vecteur normal sur chaque équation, on voit très vite quelle tête va avoir l'ensemble des solutions (ceci peut aussi être fait avec les équations réduites, cela dit...).
  • Bonjour à tous,
    Je vous remercie tous, pour vos réponses. Ça me donne un peu de grain à moudre.
    Le côté unificateur. Je suis d'accord mais pour un élève de seconde....
    Je préfère l'argument : ça prépare à d'autres équations : équation de plan, équation de cercle puis pour ceux qui continuent en math les hyperplans les formes linéaires etc..

    Robert
  • En fait je pense que pour les élèves qui ont compris que l'équation d'une droite caractérise les points qui appartiennent à cette droite, le fait d'utiliser les équations cartésiennes ou les équations réduites ne pose pas de difficulté particulière.

    En revanche, pour les élèves pour qui une équation de droite est un truc mystique où on applique bêtement les méthodes...
  • Bonjour.

    Quand j'étais en seconde, j'avais tout de suite remarqué que y=ax+b se réécrit sous la forme ax+(-1)y+b=0, et que x=a se réécrit sous la forme 1x+0y-a = 0; la forme ax+by+c=0 (on utilisait plutôt ax+by = c) généralisait les deux cas de troisième, c'était rassurant.

    Cordialement.
  • Bonjour, n'y a-t-il pas eu un fil très récemment où on parlait de cela ? (Mais c'était peut-être un hors-sujet...)

  • @gerard0
    rassurant et plus simple ) mon avis...
    La méthode de Cramer était enseignée...
  • Plus simple, je ne sais pas, d'autant qu'en terminale, on a revu le méthode des déterminants sur des équations de la forme ax+by+c=0. je me suis fait des nœuds au cerveau à chercher comment ne pas confondre :-).

    Cordialement.
  • Au contraire, l'intérêt des équas non réduites c'est tout simplement que c'est la bonne forme, c'est à dire la forme universelle, tu peux changer de repère comme tu veux, ça restera toujours ça.

    Au fond, pourquoi écrire y=ax+b plutôt que x=my+p ? C'est une simple convention qui permet de passer à des fonctions affines, mais la nature des droites et donc leur compréhension se moque totalement de ces considérations.
  • +1 pour la raison de Nicolas.Patrois d'ailleurs. Ca permet de donner des visualisations à des pbs polynomiaux de degré 1.

    C'est d'ailleurs utile pour expliquer graphiquement plein de trucs comme les systèmes d'équation, le pivot de Gauss ou même la méthode du simplexe en optimisation.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.