Inégalité
Réponses
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Par récurrence sur n?
edit Je retireLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
supp
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Effectivement, vous avez raison Side, il manque un terme dans l'intégrale, je viens de corriger l'erreur : $$
\int_{\mathbb{R}^n}(1+|x-y|)^{-n-1}(1+|y|)^{-n-1}dy \leq C(1+|x|)^{-n-1}.
$$ Je vous prie de m'excuser pour cet oubli. -
taib peux-tu nous faire une preuve pour n=1?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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L'idée est de découper suivant des couronnes dont la largeur dépend de $\vert x\vert.$
-Si $\vert x\vert \ll 1,$ alors une majoration crue donne directement : $$I(x):=\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\leq \int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert y\vert)^{n+1}}\lesssim 1.$$
-Soit $\lambda\in ]1,2[.$ Si $\vert x\vert \gg 1,$ alors en procédant au découpage suivant, il vient :
\begin{align*}
I(x) & := I_{1}+I_{2}\\
& = \int_{ \{y\in \mathbb{R}^{n}: \vert x-y\vert \leq \lambda\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}+\int_{\{y\in \mathbb{R}^{n}: \vert x-y\vert \geq \lambda\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}.
\end{align*}
On a d'une part en utilisant l'inégalité triangulaire :
\begin{align*}
I_{2} & = \sum\limits_{k\geq 1}\int_{\{y\in \mathbb{R}^{n}: \lambda^{k}\vert x\vert \leq \vert x-y\vert \leq \lambda^{k+1}\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\\
& \leq \sum\limits_{k\geq 1}\frac{1}{(1+\lambda^{k}\vert x\vert)^{n+1}}\times \int_{\{y\in \mathbb{R}^{n}: \lambda^{k}\vert x\vert \leq \vert x-y\vert \leq \lambda^{k+1}\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert y\vert)^{n+1} } \\
& \lesssim \frac{1}{\lambda^{2}\vert x\vert ^{n+2}}\sum\limits_{k\geq 0}\frac{1}{\lambda^{k(n+2)}}\\
& \lesssim \frac{1}{\lambda^{2}\vert x \vert^{n+2}}.
\end{align*}
Et d'autre part, on obtient en utilisant de nouveau l'inégalité triangulaire :
\begin{align*}
I_{1} & = \int_{ \{y\in \mathbb{R}^{n}: \frac{\lambda}{2}\vert x\vert \leq \vert x-y\vert \leq \lambda\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}+\int_{ \{y\in \mathbb{R}^{n}: \vert x-y\vert \leq \frac{\lambda}{2}\vert x\vert\} }\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\\
& \lesssim \frac{1}{\lambda^{n+1}\vert x\vert ^{n+1}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert y\vert)^{n+1}}+\int_{\{y\in \mathbb{R}^{n} : \vert y\vert \geq (1-\frac{\lambda}{2})\vert x\vert \}}\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}(1+\vert y\vert)^{n+1}}\\
& \lesssim \frac{1}{\vert x\vert ^{n+1}}+\frac{1}{\vert x\vert ^{n+1}}\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{dy}{(1+\vert x-y\vert)^{n+1}}\\
& \lesssim \frac{1}{\vert x\vert^{n+1}}.
\end{align*}
En rassemblant les deux majorations de $I_{1}$ et $I_{2},$ il vient effectivement : $I(x)\lesssim \frac{1}{\vert x\vert ^{n+1}}.$
Ceci achève la preuve de la majoration globale. -
Merci infiniment pour votre réponse BobbyJoe, mais je cherche à majorer $I(x)$ par $(1+|x|)^{-n-1}$ et non par $|x|^ {-n-1}$.
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Tu es sans le cas $ |x|\geq 1$ donc $|x|\geq \frac 12 (1+|x|)$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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