Déterminant et dénombrement

Piteux_gore

Bonjour,

Un déterminant $n, n$ contient $p$ éléments nuls, avec $0 < p < n^2 + 1$ ; combien de termes non-nuls contient son développement ?

A+

GaBuZoMeu

Ça dépend d'où sont les 0.

Piteux_gore

RE

Quelques cas particuliers faciles :
-- le déterminant contient un seul $0$
-- le déterminant contient deux $0$
-- le déterminant contient $0$ dans les $p - 2$ premiers éléments de la ligne $p$ pour $p > 2$.

Peut-on trouver des formules plus générales ?

A+

GaBuZoMeu

Autres cas faciles : une ligne ou une colonne de 0.(:D

GaBuZoMeu

-- le déterminant contient deux 0

Ça dépend d'où sont ces deux 0.

Tonm

Les éléments nuls sont différents du fait qu'un mineur soit nul. Tu vois bien sûr.
Tu distingues matrices et déterminant comment...

GaBuZoMeu

Quel est le sens de ton intervention, Tonm ?

Tonm

Le sens c'est plutôt vers la question si je comprends une matrice ($n\times n$) a quelque élements nuls et un déterminant est une somme de $n-1$ mineurs qu'on doit dire s'ils sont non nuls ou pas?

Désolé si ce n'est pas vrai?
Edit
Ou si je comprend il veut la somme sur tous les termes (les multiples de $n$ termes)... (mettre Permanent à la place est plus direct donc).

Edit 2
S'il y a $X=?$ élements nuls d'une $n\times n$ matrice alors le dévelopement complet du déterminant a tous les termes nuls.
En prenant l'identité on veut au moins $n^2-n+1$ termes nul soit une ligne ou colonne entièrement nul.
Bien sûr c'est différent de la question.
Cordialement

Tonm

Aprés quelques essais j'ai arrivé à:
$A$ matrice réelle de dimension $n$, si $A$ a $n^2-n+1-x$ élements nuls alors le dévelopement complet de son permanent admet au plus $x$ termes non nuls.
Je pense que c'est vrai pour les permutations.
Piteux gore Référence?
Ce n'est pas la borne borne mais une tel borne doit exister.



https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bregman-Minc_inequality

Cordialement.