fonction uniformément continue

fbi

Bonsoir,
dans le cadre d'une leçon d'agrégation ( interne ) je me demandais comment, visuellement, être capable de reconnaitre une fonction réelle uniformément continue sur un intervalle non borné.

Merci de vos réponses

F.

Raissouni Anass2

je vais te donner une propriété des fontions uniformément continues sur IR et je te laisse le commentaires.
alors si f est U.C sur IR,alors il existe (a,b) de IR^2 tel que pour tous x de lf(x)l<= alxl + b

fbi

Merci de ta réponse.
Cela voudrait donc dire que le graphe d'une fonction UC sur $\R$ resterait toujours sous une certaine droite.
Ce qui empecherait donc les branches paraboliques ... Mais peut on avoir plus de renseignements ?

CQFD

Une fonction uniformément continue vérifie une telle inégalité.
Cependant, ce n'est pas parce qu'une fonction continue satisfait une telle inégalité qu'elle est uniformément continue; en effet, $x\longmapsto sin(x^2)$ n'est pas uniformément continue bien que bornée (en valeur absolue) par 1.
Graphiquement, on pourrait dire que la courbe représentative d'une fonction uniformément continue ne présente pas de pente(s) trop importante(s) (en se plaçant sur un intervalle non borné, bien sûr).