La matrice $A^k$ pour $k$ non entier

Salut à tous
Dans pas mal d'exos de prépa, on établit une formule pour $A^k$.
Par exemple pour $A=I+N$ où $N$ nilpotente.
Où bien pour $A=p_1+p_2$ avec $p_1\cdot p_2=p_2\cdot p_1=0$.
Souvent, la formule obtenue (pour $k\in\mathbb{N}$) reste valable pour $k=\dfrac{1}{2}$, fournissant en quelques sortes une racine carrée de $A$, ou pour $k=-1$ fournissant un inverse de $A$.

Je me demandais si vous connaissiez des sujets permettant de mieux comprendre quand et pourquoi cette généralisation de $k$ fonctionne ou ne fonctionne pas.

Réponses

  • Commence par regarder ce qui se passe avec les nombres complexes.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • ...en quelque sorte...
  • Je ne comprends pas la remarque de nicolas.patrois. La question porte sur la définition d'une puissance d'une matrice avec exposant non entier. Avant les complexes, il y a la question des exposants rationnels non entiers, déjà $\frac12$.

    Je ne vois pas de réponse générale à la question. Il est vrai que parfois une une formule établie pour un exposant entier donne une valeur exacte pour un exposant rationnel. C'est normal dans le cas d'une décomposition $I+N$, $N$ nilpotente, car on est dans la même situation que pour un développement limité polynomial. Mais même si l'on a une « racine carrée » d'une matrice $A$, cette racine carrée n'est pas unique, donc le symbole $A^{\frac12}$ n'est pas défini.
  • Justement, Chaurien, avec les complexes on a déjà le problème de l’unicité des racines carrées.

    Se pose aussi l’existence d’un logarithme.

    C’est comme ça que j’ai compris Nicolas.
  • Je pense que ce que veut dire elodouwen c'est que lorsque l'on a une expression $A^k=f(k)$ pour tout entier $k$ et que l'on calcule (a priori absurdement) $B=f(1/2)$ on obtient une matrice telle que $B^2=A$.
    De même $C=f(-1)$, lorsque l'on peut le calculer, est l'inverse de $A$.

    Je crois me rappeler un sujet de Polytechnique à ce propos, qui utilisait fortement les polynômes de Lagrange... mais il faut que je cherche.

    Il existe également un résultat que je cite de mémoire et très mal et qui dit en gros que si la relation $A^k=f(k)$ est vraie pour suffisamment de valeurs entières de $k$ alors elle est "valable" pour tout réel $k$. Là, je ne me rappelle plus du tout la référence.
  • Pour $-1$ j'ai donné la preuve il y a quelques années. Il faudrait fouiller les archives.
  • Dans beaucoup de cas, une raison est que la matrice $A$ est diagonalisable et que sur les matrices diagonales, la relation est "trivialement" vraie (lorsque elle a un sens).
  • Un contre-exemple simple pour $k=1/2$:
    \begin{equation}
    A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
    \end{equation}
    ...
  • Une matrice nilpotente sans racine carrée:
    \begin{equation}
    A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

    \end{equation} Toujours avec $k=1/2$... En gros, la question est: pourquoi certaines matrices n'ont-elles pas de racines carrées ?
    Ou plutôt : sous quelles conditions une matrice (nilpotente ou pas) possède-t-elle une racine carrée ?
    ...
  • Je pense que la généralisation dont parle @elodouwen fonctionne pour les matrices carrées de la forme $A=I+N$, $N$ nilpotente si le corps est algébriquement clos.
    J'ignore comment cela se démontre.
    Donc, le succés d'une telle généralisation dépend du corps !
    ...
  • Un endomorphisme cyclique et nilpotent d’un espace vectoriel de dimension finie n’admet pas de racine carré par le théorème de Cayley-Hamilton (mais j’ai compris ton idée).
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