Nombres premiers

Bonjour à tous,
confinement oblige, je revois un cours d'initiation à la cryptographie (test de Miller Rabin RSA etc...)
J'ai regardé les classes de congruence modulo un nombre premier des nombres premiers plus petits que 100 000.
par exemple pour 3 : [1, 4784, 4806] Parmi les nombres plus petits que 100 000 j'ai un nombre premier égal à 0 mod 3(là ce n'est pas un scoop) mais 4784 nombres premiers congrus à 1 mod3 et 4806 nombres premiers congrus à 2 mod3
pour 5 : [1, 2387, 2411, 2402, 2390]
pour 7 : [1, 1593, 1583, 1613, 1601, 1604, 1596]
J'ai regardé avec d'autres nombres, on a l'impression que l'on a à peu près la même proportion dans chaque classe de congruence. Il y a des résultats connus concernant ce fait ?
Merci d'avance
Robert

Réponses

  • Oui, c'est le théorème des nombres premiers en progressions arithmétiques :

    Si $\pi(x; q, a)$ désigne le nombre de nombres premiers $p \leq x$ tels que $p \equiv a [q]$ alors si $a$ et $q$ sont premiers entre eux, on a $$\pi(x; q, a) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{\varphi(q)} \frac{x}{\log x},$$ où $\varphi(q)$ est le nombre de classes inversibles modulo $q$. En particulier, l'équivalent donné ne dépend pas de $a$ ! Les classes modulo $q$ des nombres premiers s'équirépartissent dans les classes inversibles modulo $q$ : asymptotiquement, si $a$ et $b$ sont premiers avec $q$ alors la proportion des $p$ tels que $p \equiv a [q]$ et la proportion des $p$ tels que $p \equiv b [q]$ sont les mêmes (égales à $\frac{1}{\varphi(q)})$.
  • Merci beaucoup Poirot.
    C'est un très beau résultat. J'ai vérifié avec x plus grand, ça colle bien avec l'équivalent.
    Bonne journée
    Robert
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