Petite question idéale ?

jaccuzzi

Bonjour
Je vais commencer par un petit exemple.

Soit $p(x,y,z)$ un polynôme à 3 variables tel que $p(x,2x,3x)$ est le polynôme nul. Que peut-on dire sur $p$ ?

Moi je dirais que $p$ appartient à l'idéal engendré par $2x-y,3x-z$ et $3y-2z$. C'est cela ? et si oui comment le démontrer ?
Merci à vous.

NoName

Bonjour,
Le nullstellensatz?

Tu peux aussi procéder élémentairement en regroupant les coefficients (et en remarquant que $f\mapsto f(X, 2X-Y, 3X-Z)$ est un automorphisme de $\mathbb{Z}[X,Y,Z]$)

Et tu n'as pas besoin de 3 générateurs, les deux premiers sont suffisants.

GaBuZoMeu

Prends un polynôme $P(x,y,z)$. Tu peux faire la division euclidienne de ce polynôme par $z-3x$ par rapport à $z$ :
$$P(x,y,z)=(z-3x)Q(x,y,z)+P(x,y,3x)\;.$$
(le reste de la division euclidienne d'un polynôme $A(z)$ par $z-a$ est $A(a)$.)
Puis tu peux faire la division euclidienne de $P(x,y,3x)$ par $y-2x$ par rapport à $y$ :
$$P(x,y,z)=(z-3x)Q(x,y,z)+(y-2x)R(x,y)+P(x,2x,3x)\;.$$

jaccuzzi

Ah oui! Merci à vous!

jaccuzzi

Alors si maintenant, on considère 2 polynômes a 6 variables $\phi$ and $\varphi$ tel que
$$\phi(X_1,\ldots, X_6)=\varphi(X_1X_2, X_2,X_3X_4,X_4,X_5X_6,X_6)$$ et $\phi(X_1,X_2,2X_1,X_4,4X_1,X_6)$ est nul.
Peut -on en conclure que $\varphi$ appartient à l'déal engendré par $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$ définis par

- $\varphi_1=-2X_1X_4+X_2X_3$

- $\varphi_2=-4X_1X_6+X_2X_5$

- $\varphi_3=-2X_3X_6+X_4X_5$

Encore merci à vous!

jaccuzzi

J'ai teste ca sur Sage et c'est ok!

Encore merci

GaBuZoMeu

Vérifions avec Singular.

ring R=0,(x(1..6)),dp ;
ideal i=x(3)-2*x(1),x(5)-2*x(3) ;
map f= R,x(1)*x(2),x(2),x(3)*x(4),x(4),x(5)*x(6),x(6) ;
preimage(R,f,i) ;

On a défini l'anneau $R=\mathbb Q[X_1,\ldots,X_6]$, l'idéal $I=\langle X_3-2X_1,X_5-2X_3\rangle$, l'endomorphisme $f: R\to R$ qui envoie $X_1,\ldots,X_6$ sur $X_1X_2,X_2,X_3X_4,X_4,X_5X_6,X_6$ et on demande $f^{-1}(I)$. Singular répond :

_[1]=x(4)*x(5)-2*x(3)*x(6)
_[2]=x(2)*x(5)-4*x(1)*x(6)
_[3]=x(2)*x(3)-2*x(1)*x(4)

jaccuzzi

Ah merciGaBuZoMeu....nos reponses ont du se croiser.

Désolé

Merci beaucoup

jaccuzzi

Bonjour,

Alors maintenant, j'essaie de démontrer le résultat (même si j'ai toute confiance en SageMath et surtout GaBuZoMeu).
En reprenant les notations de GaBu, il faut montrer que $f^{-1}(I)=<\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3>$.
Je ne vois pas comment montrer l'inclusion $f^{-1}(I)\subseteq<\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3>$. Quelqu'un aurait-il une idée?
Merci à vous!

GaBuZoMeu

En calculant à la main un idéal d'élimination, au moyen d'une base de Groebner pour un ordre adéquat. Tu as lu le Cox, Little et O'Shea, bien sûr ? ;-)

jaccuzzi

Malheureusement non j'avais du le rendre à la BU..(:P)...mais je vais investir!!!
Oui ça pourrait être un bon exo en effet! Mais je souhaitais généraliser ce résultat avec un nombre de variables quelconque...donc s'il y avait une astuce...

claude quitté

Jaccuzi,
C'est pas pour dire mais je le dis quand même, je pense que ta question est formulée d'une drôle de manière. Tu devrais faire un effort dans tes notations, il me semble.

On dispose donc de 4 indéterminées que tu notes, si tu regardes bien, $X_1, X_2, X_4, X_6$ (évidemment si c'était moi qui choisissait les noms ...etc..) et de 6 (presque) monômes $m_1, \cdots, m_6$ :
$$
\begin {array} {cccccccccc}
\vphantom{A} m_1 & m_2 & m_3 & m_4 & m_5 & m_6 \\
\\
X_1X_2 & X_2 & 2X_1X_4 & X_4 & 4X_1X_6 & X_6 \\
\end {array}
\qquad \qquad\qquad\qquad
\left| \quad
\begin {array} {c}
m_2m_3 = 2m_1m_4 \\
m_2m_5 = 4m_1 m_6 \\
m_4 m_5 = 2m_3 m_6 \\
\end {array}
\right.
$$A droite, j'ai fait figurer des relations entre ces 6 monômes. Et il s'agit de démontrer que ces relations engendrent l'idéal des relations entre ces monômes. De manière formelle, en n'hésitant pas à prendre des nouvelles indéterminées $Y_1, \cdots, Y_6$, il s'agit de déterminer le noyau de $\Theta$ :
$$
\Theta : \Z[Y_1, \cdots, Y_6] \to \Z[X_1, X_2, X_4, X_6], \qquad \qquad Y_i \mapsto m_i
$$S'il n'y avait pas les coefficients $2,4$ dans $m_3, m_5$ (c'est pour cela que j'ai parlé de presque monômes), c'est un problème classique : relations algébriques entre monômes. Ce qui conduit, pour le noyau, à la notion d'idéal torique. Il y a des méthodes dont certaines commencent par de l'algèbre linéaire.

Je dis bien s'il n'y avait pas ces coefficients. Peut-on s'en passer ? Sur quel corps de base travailles tu ? Ici, j'ai mis $\Z$ mais c'est peut-être $\Q$ chez toi ...etc...

jaccuzzi

Merci Beaucoup Claude,

Mais je fais des efforts (:P)...ca reflète surement que tout cela n'est pas encore tres clair pour moi! Désolé!
Tout d'abord, je travaille sur un corps fini $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Ensuite on ne peut pas se passer des coefficients 2, 4 dans $m_3$ et $m_5$. En fait ils deviendront des variables $Z_2$ et $Z_3$ lorsque je m'attaquerai au problème qui m'intéresse vraiment qui est le suivant (avec un nombre de monomes quelconque) :

$m_1=Z_1X_1X_2$
$m_2=X_2$
$m_3=Z_2X_1X_4$
$m_4=X_4$
$m_5=Z_3X_1X_6$
$m_6=X_6$

Il s'agit donc de trouver le noyau de $\Theta : \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[Y_1,\ldots,Y_6]\rightarrow \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X_1,X_2,X_4,X_6,Z_1,Z_2,Z_3]$

En espérant être assez clair!

Encore merci

claude quitté

$\def\uX{\underline X}\def\um{\underline m}\def\uY{\underline Y}\def\F{\mathbb F}$Rebonjour,

$\bullet$ 1 Cela se clarifie. Je ne sais pas si c'est une bonne idée d'avoir spécialisé certaines variables $Z_i$ en $2,4$ car cela complique en fait les choses. Mais c'est du passé.

Je résume ton affaire : tu disposes d'un jeu $\uX$ de variables (7 chez toi avec un doux mélange de $X_\bullet$ et $Z_\bullet$, ce qui ne va pas simplifier la tâche d'écriture), une famille finie $\um$ de monômes en $\uX$. Chez toi, 6 monômes. Et cette fois, et c'est tant mieux, ce sont des monômes (c'est vachement important).

On s'alloue un jeu $\uY$ de variables (fraîches, ah, ah), autant que de monômes et on cherche à déterminer le noyau de
$$
\Theta : \Z[\uY] \to \Z[\uX] \qquad Y_i \mapsto m_i
$$Bienvenue dans le monde des idéaux toriques.

$\bullet$ 2 J'ai mis $\Z$ mais c'est sans importance. N'importe quel corps conviendra. Il y a quelque chose d'universel : une fois déterminé le noyau de $\Theta$ sur $\Z$, cela sera fait pour tout anneau commutatif à la place de $\Z$. A condition d'avoir déterminé le noyau via des binômes PURS $Y^\alpha - Y^\beta$ : il y a toujours un tel système (fini) de générateurs.

$\bullet$ 3. Un morphisme torique (comme $\Theta$) i.e. qui transforme une indéterminée en un monôme, possède une matrice disons $A$. Et cette matrice $A$ détermine $\Theta$ et le noyau de $A$ et $\Theta$ sont liés. J'attache un extrait d'un brouillon dans un contexte un peu plus général. Toi tu vas avoir une matrice $7 \times 6$, 7 lignes parce que 7 variables à l'arrivée, 6 colonnes parce que 6 variables au départ, à coefficients entiers $\ge 0$. Do you see what I mean ?

$\bullet$ 4. Tu as probablement envie de jouer tout seul et découvrir ceci cela, c'est normal. Mais attention, il y a plein de pièges. Mots clés : idéaux toriques, toric ideals (pas variétés toriques même si c'est lié). Par exemple Bigatti & Robbiano in https://mat.unb.br/~matcont/21_1.pdf

$\bullet$ 5. Amuse toi bien. Suggestion : ne vise pas la totale parce qu'il n'y a pas de réponse close pour la totale. C'est plein de pièges (bis); Attention à l'étape de saturation (ne pas l'oublier !).

jaccuzzi

Merci beaucoup Claude!

Je vais essayer de comprendre ta réponse ;-) en espérant que ça ne dépasse pas trop mes capacités. A la relecture de ta réponse, je pense que si quand même....mais bon on va essayer (tu)

ps. j'adore ce forum!

claude quitté

J'ai oublié de te dire un petit truc. D'abord que tu vas t'amuser mais ça je crois que je l'ai dit. Mais également que des choses peuvent être très complexes malgré l'apparence. Ci-dessous, je fais super-simple : à l'arrivée, une SEULE indéterminée de nom $t$ (où toi tu en as mis 7 !!).

$\bullet$ I On commence par deux monômes $x,y$ en $t$. Par exemple (faire simple toujours) $x = t^2$, $y = t^3$. De sorte que $x^3 = y^2$. Et l'idéal des relateurs entre $x,y$ est engendré par $X^3 - Y^2$ (mais il faut le montrer).

$\bullet$ II Deux monômes $x = t^a$ et $y = t^b$ où $a, b\in \N$ sont premiers entre eux. Faisable.

$\bullet$ III Trois monômes $x = t^a$, $y = y^b$, $z = t^c$ avec $a,b,c \in \N$ premiers dans leur ensemble. Attention, c'est chaud, pas mal chaud. C'est déjà le cas avec $(x,y,z) = (t^3, t^4, t^5)$.

Des fois, les géomètres algébristes, ils donnent des exemples numériques. Si, si. Peux tu jeter un oeil sur l'exemple 5.3.6 page 67 de https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/publications/teach/Dea-1999.pdf

$\bullet$ IV Quatre monômes. La folie car explosif. Je donne les $a_i$ de $t^{a_i}$ en fonction d'un paramètre $q \ge 4$ pair :
$$
a_1 = qr, \quad a_2 = pr, \quad a_3 = qr + p, \quad a_4 = pq \qquad \quad \text{avec} \quad p = q-1, \quad r = q+1
$$Eh bien, l'idéal des relateurs entre ces 4 monômes $t^{a_i}$ est minimalement engendré par $2q$ générateurs ! Donc avec $q$ aussi grand que l'on veut pour seulement 4 monômes. Exemple connu sous le nom de monoïde de Bresinsky, monoïde car piloté par le semi-groupe $a_1 \N + a_2 \N + a_3 \N + a_4 \N$.

Je te dis cela car tu as parlé de ``faire la totale'' (je m'attaquerai au problème .... avec un nombre de monômes quelconques). Calmos.

claude quitté

Jaccuzzi
J'ai encore oublié un autre truc, après j'arrête, promis, juré. Mais c'est vachement important ce qui vient

A. Ne pas dire à tes ami(e)s : en ce moment, confiné, j'étudie l'idéal des relateurs entre monômes. Ca fait vraiment gros naze. Dire plutôt : ``j'étudie le noyau des morphismes toriques''. Ou bien ``j'étudie les idéaux toriques''. Tu verras les regards changer.

B. Surtout ne pas parler de l'idéal des relateurs entre $(t^3, t^4, t^5)$. Cela fait vraiment vulgaire, je t'assure. Plutôt quelque chose du genre ``l'idéal de la courbe monomiale $t \mapsto (t^3, t^4, t^5)$, vue comme schéma affine sur $\Z$''.

jaccuzzi

Merci Claude,

Je vois que tu es super en forme pendant ce confinement...je vois que tu maitrises l'idéal rhétorique :-)

claude quitté

$\def\F{\mathbb F}\def\um{\underline m}$Jaccuzzi
J'ai fini par regarder dans les yeux tes 6 monômes $m_i$ (ceux avec des $Z_\bullet$). Bizarre, ils sont algébriquement indépendants. I.e. l'idéal des relateurs est trivial (cela ne risque pas d'exploser). Est ce que je ne t'ai pas poussé à écrire des choses qui n'étaient pas ce que tu voulais considérer initialement ?

Les voici tes 6 monômes. J'ai suivi en fait tes noms. Je travaille au dessus de $\Q$ mais au dessus de n'importe quel corps ou anneau, cela serait pareil. Il s'agit bien d'eux ?

[color=#000000]> B ;
Polynomial ring of rank 7 over Rational Field
Order: Lexicographical
Variables: X1, Z1, X2, Z2, X4, Z3, X6
> M ;
[
    X1*Z1*X2,
    X2,
    X1*Z2*X4,
    X4,
    X1*Z3*X6,
    X6
]
[/color]

Je t'ai mis l'ordre des variables car je vais vectoriser ces 6 monômes dans $\N^7$ ou $\Z^7$ si tu préfères. Vectoriser via les exposants.

[color=#000000]> Matrix(V) ;
[1 1 1 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0]
[1 0 0 1 1 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0]
[1 0 0 0 0 1 1]
[0 0 0 0 0 0 1]
> Minors(Matrix(V), 6) ;
[ 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0 ]
[/color]

Non seulement les 6 lignes sont indépendantes mais certains mineurs $6 \times 6$ extraits sont $\pm 1$. Ce qui nous fait d'une part un anneau de polynômes $\Q[\um] := \Q[m_1, \cdots, m_6]$ et d'autre part une inclusion $\Q[\um] \subset \Q[\N^7]$ bien tranquille. Dans le jargon, on dit que le cône engendré par les $m_i$ est simplicial et que le semi-groupe engendré par les $m_i$ est normal.

Je trouve cela bizarre (bis). C'est vraiment cela que tu voulais considérer ?

jaccuzzi

Bonjour Claude !

C'est sympa d'avoir regarder mes monômes dans les yeux (:P) !
Oui ce sont ces polynômes que je souhaite, dans un premier temps considérer... j'aimerais aussi étendre ça en ajoutant des monômes (suivant le même modèle), i.e.
$m_7=X_1Z_4X_8$, $m_8=X_8,\ldots,m_{2i-1}=X_1Z_iX_{2i}$, $m_{2i}=X_{2i}$.

claude quitté

$\def\F{\mathbb F}$Pareil : ils sont algébriquement indépendants. Est ce que tu vois pourquoi ? De mon côté, je ne vois plus du tout pourquoi tu as introduit $\Theta$ (puisque $\ker\Theta$ est trivial donc pas très intéressant). Et je ne vois pas où tu veux en venir. Tu dis tout ? Que venait faire $\F_p$ dans l'histoire ?

jaccuzzi

Oui claude, tu as raison (comme toujours avec moi )
Lorsque j'ai introduit les variables $z_1,z_2,z_3$ (tu n'aimais pas mes 2,4,2), j'ai du oublié de te dire quelque chose! Alors je vais essayer...

Premier façon de le dire : je souhaite prouver que l'idéal des polynômes $\phi\in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[y_1,\ldots,y_6,z_1,z_2,z_3]$ tel que $\phi(m_1,m_2,\ldots,m_6,z_1,z_2,z_3)=0$ est engendré par :
- $p_1=z_2*y_4*y_5 - z_3*y_3*y_6$
- $p_2=z_1*y_2*y_5 - z_3*y_1*y_6$
- $p_3=z_1*y_2*y_3 - z_2*y_1*y_4$

Seconde façon de le dire ... je souhaite prouver ce que SageMath me donne sur le code suivant :

....
m1=z1*x1*x2
m2=x2
m3=z2*x1*x4
m4=x4
m5=z3*x1*x6
m6=x6

IF=ideal(m1-R1,m2-R2,m3-R3,m4-R4,m5-R5,m6-R6)
print IF.elimination_ideal([x1,x2,x3,x4,x5,x6])

À savoir...

id[b]é[/b]al (z2*R4*R5 - z3*R3*R6, z1*R2*R5 - z3*R1*R6, z1*R2*R3 - z2*R1*R4)

claude quitté

Ouf. On va finir par y arriver, je veux dire arriver à avoir un énoncé correct. Car maintenant, on dispose de 9 monômes et pas 6 puisqu'il faut y faire figurer $z_1, z_2, z_3$. Dit autrement, en posant PROVISOIREMENT $m_7 = z_1$, $m_8 = z_2$, $m_9 = z_3$, on veut déterminer l'idéal des relateurs entre ces 9 monômes $m_i$.

Ceci est (enfin) l'énoncé !

Cette fois, puisque ces 9 monômes habitent un anneau de polynômes à 7 indéterminées, il va y avoir des relations. Youpi. Et on est en plein dans le torique of course : les 3 relateurs $p_1, p_2, p_3$ que tu as montré sont des BINOMES PURS en les 9 variables de l'anneau de polynômes, source de $\Theta$.

Quand on débute, il est préférable de ne pas trop mélanger les variables.

Et on va le démontrer comment ? Je n'en sais rien pour l'instant. Suggestion : commencer à lire un peu de torique, cela ne peut pas faire de mal.

Question : est ce que tu l'avais fait à ``l'étage d'avant'' i.e. avec $m_1, m_2, m_3, m_4, z_1, z_2$ ??

jaccuzzi

Et bien ok, je me mets aux morphismes toriques

Sinon j'ai bien essaye pour l'étage d'avant et celui d'après aussi...

var('z1,z2,z3,z4,z5,a0,b0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8');
z1,z2,z3,z4,z5,a0,b0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8=FiniteField(53)[z1,z2,z3,z4,z5,a0,b0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8].gens()


p1=z1*a1*a2
p2=a2
p3=z2*a1*a4
p4=a4
p5=z3*a1*a6
p6=a6
p7=z4*a1*a8
p8=a8

IF=ideal(p1-R1,p2-R2,p3-R3,p4-R4,p5-R5,p6-R6,p7-R7,p8-R8)
print IF.elimination_ideal([a1,a2,a4,a6,a8])

Et ca donne Ideal (z3*R6*R7 - z4*R5*R8, z2*R4*R7 - z4*R3*R8, z1*R2*R7 - z4*R1*R8, z2*R4*R5 - z3*R3*R6, z1*R2*R5 - z3*R1*R6, z1*R2*R3 - z2*R1*R4)...comme attendu!!

Merci à toi (:P)

claude quitté

Jaccuzzi (suite)
Pour mon usage personnel, j'ai changé complètement les notations qui n'étaient pas tenables (pour moi). Of course, toi tu fais comme tu veux. J'ai remarqué que $x_1$ avait un statut spécial, je l'ai renommée $t$.

$\bullet$ Cela se passe dans un anneau $B$ de polynômes à $2r + 1$ indéterminées ($r=3$ en ce moment, ce qui fait bien $7$ indéterminées) qui sont chez moi maintenant :
$$
t,\qquad x_1, \cdots, x_r, \qquad z_1, \cdots, z_r
$$$\bullet$ Et il se passe quoi ? Qu'il y a $3r$ monômes (9 en ce moment) que j'ai nommés :
$$
u_i = x_i , \qquad v_i = z_i, \qquad w_i = tx_iz_i \qquad 1 \le i \le r
$$Ainsi, je vois tout de suite qu'il y les relateurs entre ces monômes
$$
u_i v_i w_j = u_j v_j w_i \qquad 1 \le i, j \le r
$$On peut limiter la plage des $(i,j)$ à $1 \le i < j \le r$, ce qui nous fait $\binom{r}{2}$ relateurs.

$\bullet$ Dans ma programmation, j'ai noté $A = k[U_1, \cdots, U_r, V_1, \cdots, V_r, W_1, \cdots, W_r]$ l'anneau de départ et $\Theta : A \to B$ le morphisme auquel on pense.
J'ai collé des poids aux variables $U_i, V_i, W_i$ de manière à ce que $\Theta$ soit homogène. A savoir $U_i, V_i$ ont le poids 1 et $W_i$ le poids 3. J'ai aussi choisi comme ordre monomial du côté de la source i.e. du côté de $A$ (car c'est là que vivent les relateurs) :

[color=#000000]> r ;
4
> 
> A ;
Graded Polynomial ring of rank 12 over Rational Field
Order: Grevlex with weights [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3]
Variables: U1, U2, U3, U4, V1, V2, V3, V4, W1, W2, W3, W4
Variable weights: [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3]
[/color]

Pourquoi ? Par habitude, disons. Et ainsi, j'obtiens, de manière expérimentale (je peux faire varier $r$ comme je veux qui est un paramètre du programme) pour $\ker\Theta$ le système de $\binom{r}{2}$ binômes purs :
$$
U_i V_i W_j - U_j V_j W_i \qquad 1 \le i < j \le r
$$Et bingo, le logiciel me dit quec'est une base de Grobner. Ce qui ne peut faire que du bien pour opérer.

Que reste-t-il à faire/montrer ? TOUT. Mais la moindre des choses, c'était de disposer d'un énoncé correct et de notations qui me conviennent.

jaccuzzi

Merci Claude!
C'est vrai que tes notations sont plus claires. Penses-tu qu'une récurrence sur $r$ est envisageable pour montrer le résultat pour tout $r$?

claude quitté

Pour l'instant, je ne sais pas faire le plus petit cas i.e. $r = 2$.

Une technique qui fonctionne assez souvent consiste à deviner le noyau (c'est fait) et à définir un supplémentaire ad-hoc du noyau-candidat (supplémentaire au sens $k$-espace vectoriel). Par exemple, le complément de Macaulay (relativement à un ordre monomial) du noyau-candidat.
Ayant bien conscience que les lignes ci-dessus doivent être obscures, j'attache un exercice corrigé qui illustre cette technique : c'est juste la question 2 (ignorer le reste).

Mais là, je cale (à trouver un bon supplémentaire). Les choses de la vie. Cela rend modeste.

claude quitté

Bonjour Jaccuzzi
Je tiens un bout de quelque chose. Est ce que cela va aboutir ? Je n'en sais rien. Serais tu prêt à examiner un problème analogue plus simple pour lequel je dispose de la solution ?

claude quitté

$\def\cM{\mathcal M}$Jaccuzzi
Encore moi. C'est bon. J'en ai un peu bavé mais je suis content d'avoir mis la main sur la combinatoire monomiale qui est derrière ton histoire.
Je commence par un principe général. A illustrer d'abord (dans la suite) sur un exemple SIMPLE comme celui auquel je faisais allusion dans mon post précédent (qui est toujours d'actualité).

$\bullet$ Contexte. $\Theta : A \to B$ un morphisme torique entre deux anneaux de polynômes sur un corps $k$ (je mets corps mais on verra plus tard que cela n'intervient pas). Torique = qui transforme toute indéterminée de $A$ en un monôme de $B$ (donc transforme tout monôme de $A$ en un monôme de $B$).

On suppose disposer d'un idéal $I$ de $A$ et d'un ensemble $\cM$ de monômes de $A$ vérifiant :

1. $I \subset \ker\Theta$
2. On a, en tant que $k$-espaces vectoriels, $A = I + S$ où $S$ est le $k$-espace vectoriel engendré par $\cM$. Note : ``engendré par'' pareil que ``de base'' car des monômes distincts sont $k$-indépendants.
3. La restriction de $\Theta$ à $\cM$ est injective.

Alors $I = \ker\Theta$ et $A = I \oplus S$.

$\bullet$ Justifications.
$\blacktriangleright$ Comme $\Theta$ est torique, $\Theta(\cM)$ est un ensemble de monômes de $B$. Puisque la restriction $\Theta : \cM \to B$ est injective, $\Theta$ transforme la $k$-base $\cM$ de $S$ en une famille $k$-indépendante de monômes de $B$.
Bilan : la restriction de $\Theta$ à $S$ est injective

$\blacktriangleright$ Montrons que $\ker \Theta \subset I$. Soit $F \in A$ tel que $\Theta(F) = 0$. On écrit $F$ sur $I + S$ i.e. $F = G + H$ avec $G \in I$ et $H \in S$. Un coup de $\Theta$ donne $0 = 0 + \Theta(H)$ i.e. $\Theta(H) = 0$. Mais comme $H \in S$ et que la restriction de $\Theta$ à $S$ est injective, c'est que $H = 0$. Bilan : $F = G \in I$.

$\blacktriangleright$ Montrons que $I \cap S = 0$. Soit $F \in I \cap S$. Un coup de $\Theta$ donne $\Theta(F) = 0$ donc $F = 0$ puisque $F \in S$ et que la restriction de $\Theta$ à $S$ est injective.

Attention : ce n'est qu'un PRINCIPE. Doit être accompagné de nombreux exemples dont ton problème. Mais il faut d'abord commencer par des exemples plus simples.

jaccuzzi

Merci Claude!

J'ai donc suivi ton conseil et je viens de me mettre aux "ideaux toriques". J'ai trouvé quelque chose sur internet qui rejoint ce que tu as dit. Work in progress! Donc deja j'ai compris (enfin j'espere) que l'ensemble des generateurs est un nombre fini binomes (difference de monomes). il resterait donc à montrer que tous le binome de $\ker \Phi$ peuvent être engendrés par "nos" binomes de degré $r$ ? non?

Encore merci

claude quitté

$\def\cM{\mathcal M}$Bonjour Jaccuzzi
Je pensais que tu avais abandonné. Non, ``cela'' ne suffit pas pour répondre à la question i.e. pour fournir un système FINI de générateurs du noyau d'un morphisme torique $\Theta : A \to B$. Il faut bien comprendre que la notion d'idéal torique fournit juste un CADRE GENERAL et rien de plus. Ensuite, chaque cas particulier nécessite un traitement spécifique.

Il faut donc traiter TON cas particulier. Mais comme il est un tantinet compliqué (ce n'est pas de ma faute), il faut traiter d'abord un cas plus simple. Je te propose le cas ci-dessous que l'on vient de traiter sur un autre fil.
$$
A = K[X_0, \cdots, X_d], \qquad B = K[U,V], \qquad \Theta : A \to B \quad X_i \mapsto U^{d-i} V^i
$$Il faut deviner des relations entre les $U^{d-i} V^i$. On s'aperçoit que le produit de deux tels monômes $U^{d-i} V^i, U^{d-j} V^j$ ne dépend que de $i + j$. On propose donc pour idéal $I$ au sens de mon dernier post :
$$
I = \langle X_i X_j - X_{i'} X_{j'} \quad 0 \le i,j,i',j' \le d, \quad i+j = i' + j' \rangle
$$Et pour $S$ (je conserve les notations de mon fil), je propose
$$
S = K[X_0,X_1] + K[X_0,X_d] X_1 + K[X_0,X_d] X_2 + \cdots + K[X_0,X_d] X_d
$$Il faut maintenant que tu vérifies les conditions 1. 2. 3. de mon post.

Il se peut que tu patauges mais je ne vois pas comment faire autrement. Tu peux prendre un $d$ particulier pour commencer si cela arrange avant de faire la totale.

Note : une fois que 1. 2. 3 seront résolus, $S$ sera un supplémentaire monomial de $I$ dans $A$. Si tu connais un peu les bases de Grobner, les monômes de $S$ sont ceux qui sont sous l'escalier de l'idéal initial de $I$ relativement à l'ordre lexicographique pour lequel $X_0 > X_1 > \cdots > X_d$. Mais on ne va pas l'utiliser, c'est juste une remarque pour dire que toutes ces choses (torique, Grobner) sont parfois enchevêtrées.

claude quitté

Jaccuzzi (Suite)
Le point 2 du principe général http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1981202,1999152#msg-1999152 i.e. $A = I + S$ paraît abstrait. Il faut raisonner modulo $I$ i.e. il faut montrer que $A/I = \overline S$ dans le quotient.

Exemple dans l'exemple précédent. Je prends $d = 4$, je note en minuscule $x_i$ la classe de $X_i$ modulo $I$. On veut par exemple montrer que $x_1x_2 \in \overline S$. Mais
$$
x_1 x_2 = x_0 x_3 \in \overline S
$$J'utilise le fait que $x_i x_j = x_{i'} x_{j'}$ si $i + j = i' + j'$.
Et de cette manière TOUT monôme de $A$ va être modulo $I$ égal à un monôme de $S$. Do you see what I mean ?

jaccuzzi

Bonsoir à tous et en particulier à Claude!

Alors j'ai réfléchi à tout ce que tu m'as dit...je maitrise pas la dernière partie et je me suis focalisé sur le message commencant par 'ca se clarifie' (:P). Je pense peut être avoir une démo qui je te soumet. N'hesite pas à me dire si c'est nul et désolé par avance pour les notations B-)

Prenons le cas $r=3$.
Soient:

- $A=k[U_1,\ldots,U_r,V_1,\ldots,V_r,W_1,\ldots,W_r]$

- $B=k[x_1,\ldots,x_r,z_1,\ldots,z_r,t]$

- $\Theta:A\rightarrow B$ le morphisme défini par $\Theta(U_i)=x_i, \Theta(V_i)=z_i$ et $\Theta(W_i)=W_i=tx_iz_i$

Soit $M$ la matrice (7 lignes, 9 colonnes) la matrice attachée (elle a un petit nom?) au morphisme torique $\Theta$. On remarque que le noyau de $M$ est l'ensemble des vecteurs $v\in \mathbf{Z}^9$ de la forme $$v=(a,b,c,a,b,c,-a,-b,-c)$$
avec $a+b+c=0$.

On souhaite montrer que les binomes suivants engendrent $\ker \Theta$.

- $v_1=v_1^+ - v_1^- =(1,0,0,1,0,0,0,1,0)-(0,1,0,0,1,0,1,0,0)$

- $v_2=v_2^+ - v_2^- =(1,0,0,1,0,0,0,0,1)-(0,0,1,0,0,1,1,0,0)$

- $v_3=v_3^+ - v_3^- =(0,1,0,0,1,0,0,0,1)-(0,0,1,0,0,1,0,1,0)$

Il suffit de montrer donc que tout binome de $\ker \Theta$ est dans $<v_1,v_2,v_3>$ (car $\Theta$ est un morphisme torique).


Soit $v$ appartenant au noyau avec $v=v^+-v^-$ à supports disjoints. On montre (facilement je crois) qu'il existe $a_1,a_2,a_3\in \mathbf{Z}$ tels que

$$v^+=a_1v_1^++a_2v_2^++a_3v_3^+$$ et $$v^-=a_1v_1^-+a_2v_2^-+a_3v_3^+$$

Je pense (peut être à tort) que ca suffit pour montrer le résultat. Non?

claude quitté

$\def\uU{\underline U}$Salut Jaccuzzi. J'ai commencé à lire ton post. La preuve

[color=#000000]> M ;
[1 0 0 0 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 1 0 0 0 0 0 1]
[0 0 0 1 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 1 0 0 1]
[0 0 0 0 0 0 1 1 1]
[/color]

On y voit que tu t'es mis au torique.

Jusqu'au milieu, ça va. Mais attention entre le discours de nature vectorielle $\alpha - \beta$ et le discours binôme pur $\uU^\alpha - \uU^\beta$ où $\uU$ est le paquet $(U_1, U_2, U_3, V_1, V_2, V_3, W_1, W_2, W_3)$. Certes, il faut RELIER les deux mais ne pas pour autant les confondre. Ce qui veut dire qu'il faut DEUX notations. On peut écrire quelque chose du genre :
$$
v_1 = v_1^+ - v_1^- \quad \leftrightarrow \quad \uU^{v_1^+} - \uU^{v_1^-} = U_1V_1W_2 - U_2V_2W_1
$$mais sans pour autant mettre = à la place de $\leftrightarrow$, sinon on va à la catastrophe.

Donc quand tu dis ``Il suffit de montrer que tout binôme de $\ker\Theta$ ...etc..'', je dis OK A CONDITION de le lire de manière ad-hoc. Comme c'est écrit en ce moment, c'est douteux.

$\bullet$ MAIS le vrai souci c'est vers la fin. Tu dis ``On montre (facilement je crois) ....etc...". Mais tout le problème est là, justement. Et si c'est si facile, pourquoi ne le fais tu pas ? Car jusqu'à cet endroit, je suis d'accord mais j'ai envie de dire que ce sont presque des banalités. Sauf peut-être en ce qui concerne le noyau de $M$ et encore.

De plus tu dis : $a_1, a_2, a_3 \in \Z$. Est ce que tu ne voulais pas dire $a_1, a_2, a_3 \in \N$ ??

$\bullet$ Suite des événements ? De mon côté, je réfléchis voir si la structure de $M$ pourrait effectivement conduire à une simplification. C'est bien la première fois qu'une telle chose m'arriverait mais après tout, on ne sait jamais.
Le plan que je t'ai prévu (pour l'instant, tu n'as pas accroché, on verra par la suite ..) est ``beaucoup plus complexe''.

De ton côté, en attendant que je regarde plus attentivement (je n'y crois pas), peux tu

A. Me montrer vraiment la résolution (au lieu de ``On montre .(facilement je crois) ..'')
B. Regarder l'exemple que j'attache. Il s'agit d'un morphisme torique $\varphi_A : K[u_1,u_2,u_3,u_4] \to K[x,y]$ avec $\varphi_A(u_1) = xy$ ...etc...

$\bullet$ Hum. Ajout. L'exemple que je t'ai donné (le $d$-Veronese), n'est pas celui que je VOULAIS te donner. J'ai envie de te donner le vrai exemple que j'avais préparé : si tu me dis, à l'endroit fatidique, ``on montre (facilement) je crois ...etc'', cela sera plus facile pour moi de ``te contrer''. Je te le montre, ce NOUVEL exemple ??

claude quitté

$\def\BP{\text{BP}}\def\uU{\underline U}$Jaccuzzi (suite)
Bon, cela va être violent : pour l'instant, tu n'as absolument rien montré. Et on croit comprendre que tu attends trop de miracles ``du calcul vectoriel sur les exposants''.

En principe, les objets ci-dessous, cela te dit quelque chose.

[color=#000000]> G[1] ;
U1*V1*W2 - U2*V2*W1
> v1 := Vecteur(G[1]) ;
> v1 ;
( 1 -1  0  1 -1  0 -1  1  0)
> v1plus := Plus(v1) ;
> v1plus ;
(1 0 0 1 0 0 0 1 0)
> v1moins :=  Moins(v1) ;
> v1moins ;
(0 1 0 0 1 0 1 0 0)
> v1 eq v1plus - v1moins ;
true
> BinomePur(v1) ;
U1*V1*W2 - U2*V2*W1
[/color]

Je note $\BP$ pour binôme pur : $\BP(v) = \uU^{v^+} - \uU^{v^-}$.

Si $w \in \N v + \N v'$, est ce que $\BP(w) \in \langle \BP(v), \BP(v')\rangle$ ? NON. Enfin pas toujours.

[color=#000000]> w := 2*v1 + v3 ;
> BinomePur(w) ;
U1^2*V1^2*W2*W3 - U2*U3*V2*V3*W1^2
> BinomePur(w) in Ideal([BinomePur(v1), BinomePur(v3)]) ;
true
[/color]

Ici, c'est oui, mais c'est un COUP de BOL.

Ci-dessous, c'est non.

[color=#000000]> w := 3*v1 + 3*v3 ;
> BinomePur(w) ;
U1^3*V1^3*W3^3 - U3^3*V3^3*W1^3
> BinomePur(w) in Ideal([BinomePur(v1), BinomePur(v3)]) ;
false
[/color]

Ici, on touche à la vraie vérité du noyau d'un morphisme torique : le lien entre le noyau de la matrice qui définit le morphisme torique et un système FINI de générateurs du noyau.

PS : si à chaque échange, il y a un trou d'une semaine, je laisse tomber. Car c'est trop d'investissement de ma part. Les exécutions ci-dessus, c'est une calculette que je viens d'écrire pour TE montrer quelque chose dans TON problème.

jaccuzzi

Merci beaucoup Claude!

Je suis désolé d'être si lent, mais j'ai pas beaucoup de temps et surtout j'ai d'énormes lacunes!
Avant de me lancer dans ta solution qui je suis sur m'apprendra plein de choses, je souhaiterais en terminer avec ce que je propose pour voir si je suis à coté de la plaque.

Alors d'abord je voulais bien dire $a_1,a_2,a_3\in \mathbf{Z}$! Cela de permet aussi de considérer $-v_1,-v_2,-v_3$ non?

Sinon pour la démonstration que je peux essayer de l'écrire rigoureusement d'ici peu. Mais je peux deja dire comment je vois.

D'abord vu la forme des vecteurs du noyau, on peut ne s'intéresser qu'aux 3 premières composantes.
Ensuite je note $|v|$ la somme des 3 premières composantes de $v^+$ ou de $v^-$. Je pense que l'on peut démontrer le résultat par récurrence sur $|v|$. En effet, soit $v$ appartenant au noyau tel que $|v|>0$. Il suffit de voir qu'il existe $i=1,2,3$ tel que $w^+=v^+-v_i^+$ et $w^-=v^--v_i^-$ (ou $w^+=v^+-v_i^-$ et $w^-=v^--v_i^+$) avec $w^+\in \mathbf{N}^9$, $w^-\in \mathbf{N}^9$ et $|w'=w^+-w^-|=|v|-1$. Le résultat est montré car $w$ satisfait l'hypothèse de récurrence.

Ca pourrait le faire?

claude quitté

$\def\BP{\text{BP}}$Plusieurs choses

1. Le fait que tu n'aies pas le temps ne doit pas rentrer en ligne de compte. C'est ton problème, pas le mien. C'est bien toi qui as posé une question sur le forum. Et moi, à ton avis, est ce que j'ai le temps ? Ne pas oublier que cela m'a coûté un peu de temps pour reformuler ton problème initial de manière plus compréhensible. Bref.

2. Je n'impose absolument pas MA solution. Mais il faut quand même que tu prennes le temps (je sais bien que tu n'en as pas) de regarder par exemple, le dernier petit exemple que j'ai attaché. $\BP$ c'est plein de pièges. Tu restes trop dans TON monde.

3. Maintenant, on dispose d'une notation $\BP(\bullet)$ pour binôme pur : $\BP$ mange un vecteur de $\Z^9$ et produit un binôme pur de $K[U_1, U_2, \cdots, W_3]$. Et je précise le résultat que tu veux montrer :
$$
v \in \ker M \quad \Rightarrow \quad \BP(v) \in \langle \BP(v_1), \ \BP(v_2),\ \BP(v_3) \rangle
$$Faire attention entre les calculs sur les exposants et les calculs sur les binômes purs.

4. Soit $v \in \ker M$, $v = (a,b,c, \cdots)$ avec $a + b + c = 0$ donc. Il y a peut-être quelque chose à jouer avec ce que tu racontes dans ton dernier post en étudiant soigneusement les signes de $a,b,c$. Même si je me contredis, il faut ici que tu prennes le temps de l'écrire. Pas via un post. Mais via un pdf que tu vas écrire de manière à en être fier. Que tu pourras poster dans une semaine voire deux semaines. Cela prend le temps de faire une preuve.

Et surtout ne pas terminer des phrases par des points d'interrogation du style ``.... non ?'', ``Ca pourrait le faire ?''. FAIRE et pas DIRE.

jaccuzzi

Oui oui merci Claude :-)

Je ne suis pas dans mon monde mais dans le monde des ideaux toriques que tu m'as fait découvrir...encore merci!
Je vais donc dans un premier temps ecrire une preuve (en pdf (:P)) en tout cas essayer. Je vais aussi tenter de comprendre tout ce que tu m'as écris pour devenir un idealiste torique...(:P)

claude quitté

$\def\BP{\text {BP}}$Jaccuzzi, Encore moi. Tu vas trouver que je suis lourd. C'est pas faux. Peut-être que j'ai été un peu dur alors que visiblement, tu t'es investi dans le torique. Le coup du pdf pour toi, c'est que cela nous (?) laisse du temps : on ne peut pas faire à toute beurzingue quand c'est délicat, et ça l'est.

Quelques précisions maintenant que l'on a un peu de vocabulaire torique.

Contexte : $\Theta : A \to B$ un morphisme torique entre deux anneaux de polynômes (sur un corps pour les frileux) de matrice $M$. J'utilise la primitive binôme pur $\BP$ : s'il y a $n$ indéterminées pour $A$, $\BP(v)$ pour $v \in \Z^n$ est un binôme pur de $A$.

1. Peut-on, à partir de la matrice $M$, déterminer un système de générateurs de $\ker\Theta$ ? La réponse est OUI SAUF que ce système est INFINI : il s'agit de TOUS les binômes purs $(\BP(v)$ pour $v \in \ker M \setminus \{0\}$. Je dis bien tous les $\BP(v)$.

2. Peut-on, en GENERAL, extraire (de manière explicite) de ce système générateur un système générateur fini ? NON. Je dis bien en général, NON ``via un truc magique''. Il y a des personnes qui passent une grande partie de leur temps à déterminer des noyaux toriques.

Ne surtout pas croire que les $\BP(v)$ lorsque $b$ décrit UNE $\Z$-base de $\ker M$ forment un système générateur de $\ker\Theta$. C'est pire que cela : l'idéal engendré par les $(\BP(v))_{v \in \rm base}$ dépend de la base de $\ker M$.

3. Dans un cas PARTICULIER ``concret'' voire numérique (cela ne veut rien dire), peut-on extraire un système fini parmi les $\BP(v)$ ? En principe, OUI. Mais pour cela, il faut MOUILLER LA CHEMISE. J'ai passé par exemple une journée pour trouver une solution pour TON système ($r$ quelconque et pas seulement $r=3$).

4. Se méfier ``comme de la peste'' de $\BP$. Déjà dit mais on ne le redira jamais assez : ce n'est pas parce que $w \in \Z v + \Z v'$ que l'on a $\BP(w) \in \langle \BP(v),\ \BP(v')\rangle$. J'en redonne un exemple dans TON cadre mais avec $r = 4$. Ci-dessous, $v_1, v_5$ sont dans $\ker M$, promis juré.

[color=#000000]> r ;
4
> v1 ;
( 1 -1  0  0  1 -1  0  0 -1  1  0  0)
> BinomePur(v1) ;
U1*V1*W2 - U2*V2*W1
> v5 ;
( 0  1  0 -1  0  1  0 -1  0 -1  0  1)
> BinomePur(v5) ;
U2*V2*W4 - U4*V4*W2
> w := v1 + v5 ;
> w ;
( 1  0  0 -1  1  0  0 -1 -1  0  0  1)
> BinomePur(w) ;
U1*V1*W4 - U4*V4*W1
> BinomePur(w) in Ideal([BinomePur(v1), BinomePur(v5)]) ;
false
[/color]

jaccuzzi

Salut Claude!

Non non je te trouve pas lourd...mais passioné...c'est très motivant...
Alors il me semble (j'espere) que je ne suis pas tombé dans le piege. Pour etre sur, si $v_1$ et $v_5$ étaient à support disjoint, alors on aurait bien eu $v_1+v_5\in Ideal(...)$?
Je vais continuer sur ma preuve qui, je pense, peut être généraliser à tout $r$ même si je sais qu'elle sera moins élégante que des preuves utilisant des outils plus sophistiqués. D'ailleurs, j'aurais surement besoin de ces outils pour d'autres idéaux.

Encore merci et c'est vraiment top que ce forum existe!

claude quitté

$\def\uX{\underline X}\def\BP{\text{BP}}$Resalut Jaccuzzi.
Oui, ça le fait le coup des supports disjoints (voir plus bas). Ce qui prouve que tu commences à sentir le torique.
MAIS il faut absolument que tu t'interdises d'écrire qu'un vecteur appartient à un idéal (ce que tu as écrit dans ton dernier post). Il faut mettre du $\BP$ (binôme pur) quelque part.

$\bullet$ Coup des supports disjoints : soient $v,w \in \Z^n$ deux vecteurs à supports disjoints. On a (merci aux supports disjoints) :
$$
(v+w)^+ = v^+ + w^+, \qquad (v+w)^- = v^- + w^-
$$Donc, avec une $\uX$-notation pour les monômes :
$$
\BP(v+w) = \uX^{v^+} \uX^{w^+} - \uX^{v^-} \uX^{w^-} \qquad \qquad (\star)
$$D'où l'appartenance convoitée puisque :
$$
AB - A'B' \in \langle A-A', \ B - B'\rangle \qquad \text{from} \qquad AB- A'B' = A(B-B') + B'(A - A')
$$
$\bullet$ Tu vois en $(\star)$ le comportement de $\BP$ sur une somme ``tranquille'' (= vecteurs à supports disjoints). $\BP$ d'une somme, ce n'est pas la somme des $\BP$. Et quand les supports ne sont pas à supports disjoints, on n'a plus $(v+w)^+ = v^+ + w^+$ ...etc.. Bref, c'est la galère. C'est ce qui fait la complexité des noyaux toriques (et également leur charme).

$\bullet$ Quand tu auras le temps, peux tu jeter un oeil sur l'exemple (encore !) de l'extrait attaché. $I$ c'est $\ker \varphi_A$. C'est un extrait d'un brouillon écrit pour mézigue.

Toriquement vôtre.

jaccuzzi

Bonjour à tous (à Gabu et Claude en particulier)

Alors, j'ai mis en pièces jointes de la démonstration de mon problème (formalisé proprement par Claude) en reprenant les idées évoquées plus haut. J'espère qu'elle est lisible et surtout juste. Vos commentaires sont les bienvenus. Ce résultat m'intéresse en tant que tel, mais j'aimerais le généraliser et je vous soumettrai (car je ne pense pas y arriver tout seul) mon nouveau problème!

Merci à tous (à Gabu et Claude en particulier (:P))

ps. j'ai recu aujourd'hui le cox...(tu)

claude quitté

Salut Jaccuzzi
Bien reçu. Je vais lire. Compte quelques jours. Mais puisque tu disposes maintenant de Cox & Little & O'Shea, tu n'as plus besoin de nous.

jaccuzzi

Merci Claude

Si si j'aurai besoin de vous....d'ailleurs à quand le Claude & Gabu & Poirot? (:P)

claude quitté

Salut Jaccuzzi
Premier retour. J'ai lu ton pdf. De manière attentive, je prétends. Ca roule. Et comme je suis franc, je te raconte ce qui m'est passé par la tête, dans le désordre, sans chercher à structurer mes propos.

1. On voit qu'il y a du soin dans l'écriture, des efforts de notations, efforts dans la gestion des indices ...etc..

2. Mais c'est tellement minutieux que l'on se demande où vraiment le job est fait (cf la suite).

3. Parfois quand même des ratés dans la présentation. Donner $M$ comme tu l'as fait ne sert à rien (où sont les 1 ?). Tu ferais mieux de la donner dans un cas particulier $t = 3$ par exemple et si tu arrivais à border en indiquant les variables, cela serait plus mieux.

4. Contrairement à nos posts, tu es devenu plus formel. Jamais un petit mot dans un cas particulier $t = \cdots$. Si bien qu'une personne qui n'est pas dedans aurait du mal à comprendre.

5. Je me suis dit à plusieurs reprises que tu me roulais dans la farine. Par exemple, quand j'ai vu en bas de la page 1 ``On montre facilement que ...'. Je me suis dit, toi mon petit gars (si je peux me permettre), tu n'as pas assez regardé mes exemples pièges relatifs à la primitive ``binôme pur d'un vecteur''.

6. Mais en fait, tu n'utilises pas cette primitive. Tu joues la carte monomiale $m_A(\quad)$. Et tu ne m'a pas suivi. Tu as fait comme tu voulais. Et tu as bien raison.

7. Tu as bien fait de ne pas me suivre car ton approche est d'une autre nature (que ma stratégie supplémentaire de Macaulay). Tu analyses à fond le noyau de la matrice du morphisme torique.

8. Du coup, il faudrait que je revienne sur les noyaux toriques que j'ai déterminés ces dernières années. Voir si une stratégie analogue à la tienne peut s'appliquer. C'est le monde à l'envers.

9. Malgré le soin de rédaction, il reste des coquilles, un certain nombre de fautes d'orthographe et des maladresses notationnelles. Je te propose d'annoter en rouge ton pdf, de scanner et d'attacher. Tu en feras ce que tu voudras. Mais corrige au moins les fautes d'orthographe. Tu prends ?

10. Ton anneau de base semble être $\Z_n$. Je suppose $\Z/n\Z$. En fait, il n'intervient aucunement. Pourquoi mentionner $\Z/n\Z$ ? Tu es dans le monde de la cryptographie ?

11. J'ai analysé ce que j'estime être les points les plus importants, ceux qui font le JOB de la preuve. Il y a le coup du noyau de $M$ constitué des $(u,u,-u)$ avec $u \in \Z^t$ de somme nulle. Et d'une. Et le deuxième point, c'est le résultat sur les $(u^+, u^-) \in \Z^{2t}$ que je raconte à ma manière dans le point suivant.

12. On oublie TOUT. En principe, tu devais reconnaître tes billes dans ce qui suit. Soit $C \subset \R^{2t}$ le cône rationnel défini par les inégalités :
$$
C : \qquad \sum_{i=1}^t x_i = \sum_{j=t+1}^{2t} x_j, \qquad x_i \ge 0 \quad \forall \ i
$$Je suis en train de parler de tes $(u^+, u^-)$ sauf que je fais quelque chose de SELF-CONTAINED. Cela veut dire quoi cône rationnel de $\R^{2t}$ ? Est ce qu'il y a des réels dans notre histoire ? NON. C'est juste pour donner une coloration géométrique (on dit polytopiale) au truc. En fait, on va considérer les points ENTIERS de ce cône. Et il est rationnel en deux sens : défini par un nombre fini d'inégalités (la première égalité $\text{truc} = \text{machin}$ c'est pareil que $\text{truc} \ge \text{machin}$ ET $\text{truc} \le \text{machin}$). Et les coefficients des formes linéaires qui interviennent dans la définition sont à coefficients rationnels en fait à coefficients entiers.

Et alors ? Le job est de présenter ce cône comme une enveloppe ``conique'' d'un nombre fini de vecteurs. C'est ce QUE TU AS FAIT. Ces vecteurs sont, en désignant par $e_1, \cdots, e_{2t}$ la base canonique de $\Z^{2t}$
$$
e_i + e_j \qquad 1 \le i \le t, \qquad t+1 \le j \le 2t \qquad\qquad (\star)
$$En clair, tu as montré que tout point entier du cône est une combinaison entière POSITIVE des points ci-dessus. Est ce que tu reconnais tes billes ?

13. BONUS. Le cône $C$ est strictement convexe i.e. $C \cap -C = 0$, normal, il est contenu dans le quadrant positif (les inégalités $x_i \ge 0$). Et la famille $(\star)$ est le plus beau système générateur du semi-groupe des points entiers du cône. On dit base de Hilbert. C'est cela le bonus.

Tu risques de ne pas tout comprendre ce qui suit. Un toric lattice, c'est un objet géométrique sur lequel est assis le torique. On va dire que c'est $\Z^\bullet \subset \Q^\bullet \subset \R^\bullet$. On y fait de la géométrie convexe, de l'algèbre linéaire sur $\Q$, de l'algèbre linéaire sur $\Z$ ...etc....

[color=#000000]> t := 3 ;        
> L := ToricLattice(2*t) ;
> L ;
6-dimensional toric lattice L = Z^6
> Ldual := Dual(L) ;      
> Ldual ;
6-dimensional toric lattice Ldual = (Z^6)^*
[/color]

Je vais monter mon cône $C \subset L$ en définissant les inéquations dans le dual $L^*$

[color=#000000]> f := Basis(Ldual) ;
> f ;
[
    (1, 0, 0, 0, 0, 0),
    (0, 1, 0, 0, 0, 0),
    (0, 0, 1, 0, 0, 0),
    (0, 0, 0, 1, 0, 0),
    (0, 0, 0, 0, 1, 0),
    (0, 0, 0, 0, 0, 1)
]
> sum1 := &+f[1..t] ;  sum2 := &+f[t+1..2*t] ;
> sum1 ;
(1, 1, 1, 0, 0, 0)
> sum2 ;
(0, 0, 0, 1, 1, 1)
// Cone défini par sum1 >= sum2, sum2 >= sum1 et les coordonnées positives
> C := ConeWithInequalities([sum1 - sum2, sum2 - sum1]) meet PositiveQuadrant(L) ;
> C ;
Cone C with 8 inequalities:
    ( 1,  1,  1, -1, -1, -1),
    (-1, -1, -1,  1,  1,  1),
    ( 1,  0,  0,  0,  0,  0),
    ( 0,  1,  0,  0,  0,  0),
    ( 0,  0,  1,  0,  0,  0),
    ( 0,  0,  0,  1,  0,  0),
    ( 0,  0,  0,  0,  1,  0),
    ( 0,  0,  0,  0,  0,  1)
[/color]

Ton système générateur des $e_i + e_j$ avec $1 \le i \le t$ et $t+1 \le j \le 2t$.

[color=#000000]> e := Basis(L) ;
> JaccuzziGenerators := [e[i] + e[j] : i in [1..t], j in [t+1..2*t]] ;
> JaccuzziGenerators ;
[
    (1, 0, 0, 1, 0, 0),
    (0, 1, 0, 1, 0, 0),
    (0, 0, 1, 1, 0, 0),
    (1, 0, 0, 0, 1, 0),
    (0, 1, 0, 0, 1, 0),
    (0, 0, 1, 0, 1, 0),
    (1, 0, 0, 0, 0, 1),
    (0, 1, 0, 0, 0, 1),
    (0, 0, 1, 0, 0, 1)
]
[/color]

Et on termine par une vérification et le bonus. Il faut que je range correctement tes générateurs de manière à ce que cela colle avec la base de Hilbert déterminée par le logiciel.

[color=#000000]> C eq Cone(JaccuzziGenerators) ;
true
> HilbertBasis(C) eq Sort(JaccuzziGenerators) ;
true
[/color]

Je résume : BIEN joué.

jaccuzzi

Merci Claude pour ces réponses très détaillées et pédagogiques!

Alors je vais essayer de répondre aux points qui posent question :

1 - Oui je suis preneur de corrections/commentaires sur le pdf...pour les fautes d'orthographes, pas utile car j'ai besoin d'une version en anglais!

2 - Oui bien vu Claude, moi c'est plutôt la cryptographie qui m'intéresse. J'ai parfois des questions d'algèbre qui se posent mais souvent ce sont des problèmes d'algorithmie sur des structures algébriques ne correspondant à aucun des forums. D'ailleurs mon avant dernière question (avant celle-ci) n'a inspiré personne. En toute subjectivité, il serait pas mal d'avoir un forum d'algorithmie voire de cryptographie (:P)

3 - J'ai bien retrouvé mes billes sur les points 12 et 13.

Après mon week-end déconfinement (avec des gens qui préfèrent malheureusement le ping pong à l'algèbre B-)), je vais essayer de formuler une généralisation de mon problème. Vaut-il mieux que je reprenne les notations du pdf et que j'initie une nouvelle discussion...ou on continue sur celle-ci?

Merci à vous et surtout à Claude

claude quitté

$\def\P{\mathbb P}$Rebonjour,
En ce qui concerne ta généralisation, je ne sais pas trop quoi dire. Car figure toi que tout cela (surtout mes posts), cela me prend un peu (?) de temps. Mais après tout, je ne suis pas tout seul ici. Annoter ton pdf, je ferais cela dans 2 ou 3 jours, il faut que je me repose un peu.

$\bullet$ J'ai quand même pris le temps de passer à ta moulinette le co-morphisme de Segre. Je prends un Segre de bébé :
$$
\P^1_{(t:u)} \times \P^n_{(z_0:\cdots : z_n)} \to \P^{2n+1}_{(x_0 : \cdots : x_n : y_0 : \cdots : y_n)} \qquad \quad
(t : u) \times (z_0 : \cdots : z_n) \mapsto (x_0 = tz_0 : \cdots : x_n = tz_n : y_0 = uz_0 : \cdots : y_n = uz_n)
$$C'est de la géométrie algébrique de base. Il s'agit de déterminer l'idéal de l'image et ceci de manière universelle.

Inutile de te barrer en courant : les beaux objets de l'algèbre proviennent souvent de la géométrie (d'ailleurs le tien provient de la géométrie, disons que je lui ai forcé la main pour). En ce qui nous concerne, tu peux oublier s'il te fait peur le morphisme de Segre ci-dessus et retenir seulement son co-morphisme (en changeant $n+1$ en $n$) qui est le morphisme torique suivant :
$$
\Theta : A = \Z[X_1, \cdots, X_n,\ Y_1, \cdots, Y_n] \to B = \Z[T,U, Z_1, \cdots, Z_n] \qquad \qquad
X_i \to TZ_i, \qquad Y_i \to UZ_i
$$Le noyau de $\Theta$ i.e. l'idéal des relateurs entre les monômes $TZ_1, \cdots, TZ_n, UZ_1, \cdots, UZ_n$ est l'idéal engendré par les binômes purs $X_iY_j - X_jY_i$ avec disons $i < j$. Ou encore l'idéal des mineurs d'ordre 2 de
$$
\left[ \matrix {X_1 & \cdots & X_n \cr Y_1 & \cdots & Y_n} \right]
$$
$\bullet$ Je dispose d'une preuve de ce résultat et qui fournit d'autres renseignements précieux (base de Gröbner, monômes sous l'escalier ...etc..). Et désormais, je dispose d'une seconde preuve via ta stratégie. Voici la matrice $M$ du morphisme torique $\Theta$ : $n+2$ lignes dans l'ordre $T,U, Z_1, \cdots, Z_n$ et $2n$ colonnes dans l'ordre $X_1, \cdots, X_n, Y_1, \cdots, Y_n$

[color=#000000]> n ;
6
> M ;
[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1]
[1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0]
[0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1]
[/color]

Tu vois aussitôt que $\ker M = \{ (u, -u) \}$ avec $u \in \Z^n$ de somme nulle. Et donc on termine VIA LA MËME PREUVE (la tienne)

$\bullet$ Une remarque. Sincèrement, tu devrais mettre $\Z$ au lieu de $\Z/n\Z$. Car $\Z$ cela fournit un résultat universel : c'est le must. Il faut que tu me fasses confiance ici. Mettre $\Z/n\Z$, c'est appauvrir ton machin. Bon, tant que tu mets pas un corps algébriquement clos comme disent les pros sur le forum. Ben, heureusement que les variétés toriques sont définies sur $\Z$, manquerait plus que ça !

$\bullet$ Le fait que ce soit la même preuve invite à réfléchir. Je te dis juste le truc suivant : si je fais par exemple $T := 1$ dans le $\Theta$ ci-dessus, cela ne change pas son noyau. Mais cela fait des jaloux entre les $X_i$ et $Y_i$ : ce n'est plus symétrique. Bref, je tiens à garder $T$ ET $U$.

Et en ce qui concerne le tien, c'est le contraire : il n'est pas symétrique. Ton $Z_0$, ce n'est pas ce que tu as fait de mieux comme notation. Passons. Du coup, je lui ai fait une petite beauté en ajoutant une indéterminée (et en renommant ton $Z_0$ pourri). Et ceci SANS CHANGER SON NOYAU. Et il est devenu tellement chouette qu'il est apparu presque aussitôt comme une sorte de co-morphisme de Segre. Je ne rentre pas dans les détails.

$\bullet$ Et je ne te dis pas tout. A l'arrivée, du côté de $B$, que ce soit pour ton morphisme torique ou le co-morphisme de Segre, il y a de la richesse : l'image de $\Theta$ est l'algèbre d'un semi-groupe affine NORMAL. Et c'est l'aspect normal qui crée la richesse de la chose. C'est une propriété non banale.

Bref, ton morphisme ou celui obtenu en lui faisant une petite beauté n'est PAS un morphisme torique quelconque. Euh, est ce que je vais oser poser la question (je suis timide) : tu l'as dégotté où ton morphisme torique ? Sous le sabot d'un cheval ? Dans un paquet de Bonux ? (là, tu peux pas comprendre, t'es trop jeune).

claude quitté

$\def\P{\mathbb P}$Jacuzzi
Voilà les 2 pages annotées, j'ai eu la flemme d'en faire plus. Il y a quand même quelques imperfections dans tes 2 pages. Par exemple, à la fin, cela n'a pas de sens de dire que $w, w'$ sont à supports disjoints. Pour $u \in \Z^t$, cela avait du sens de dire que $u^+, u^-$ qui habitent $\Z^t$ sont à supports disjoints. Mais une fois que tu fais de ce couple un habitant de $\Z^t \times \Z^t$, cela n'a plus de sens.

Les notations devraient être encore plus mieux. Un bon plat cela se déguste avec une jolie table fleurie, des belles assiettes ...etc..

Une remarque : c'est très important les notations. Supposons que je prenne le Segre $\P^n \times \P^m \to \P^N$ avec $N = (n+1)(m+1)-1$ au lieu du Segre de bébé. J'en change complètement les notation (du Segre de bébé)
$$
(x_0 : \cdots : x_n) \times (y_0 : \cdots : y_m) \mapsto (x_i y_j)_{0 \le i \le n \atop 0 \le j \le m} \quad \text{à écrire dans un certain ordre}
$$En ce qui concerne le co-morphisme $\Theta$, il y a intérêt à prendre l'anneau de départ $A$ comme un anneau de polynômes dont les $(n+1)(m+1)$ indéterminées vont avoir des noms structurés ``de manière matricielle'' :
$$
A = \Z[ Z_{ij},\ 0 \le i \le n, \ 0 \le j \le m], \qquad \qquad B = \Z[X_0, \cdots, X_n, \ Y_0, \cdots, Y_m] \qquad\qquad
\Theta : Z_{ij} \mapsto X_i Y_j
$$C'est important car le noyau de $\Theta$ est engendré par les binômes purs constitués des mineurs d'ordre 2 de la matrice $(Z_{ij})_{0 \le i \le n \atop 0 \le j \le m}$.

jaccuzzi

Merci Claude

J'ai bien reçu tes corrections ! Il y a pas mal de rouge (merci de ne pas avoir noté (:P)). Je vais prendre en compte tout ca. Ensuite, je compte avancer un peu le Cox et essayer de formaliser la suite ! J'arriverai peut être à trouver des réponses moi-même... mais ne rêvons pas !
Encore merci.