Limite d'une suite

Bonjour, j'ai une suite $(u_n)_{n\in {\bf N}} $ à termes strictement positifs ; je suppose que la suite $(u_{n+1}/u_n)_{n\in {\bf N}}$ converge vers un certain réel $\ell > 1$. Alors j'aimerais montrer que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Voici comment je procède :

$(u_{n+1}/u_n)_{n\in {\bf N}}$ converge vers un certain réel $\ell > 1$ donc il existe un certain rang $N$ à partir duquel, pour tout $n \geqslant N$, j'ai $u_{n+1}/u_n >1$. Je considère alors
$\displaystyle q:= \inf \left\{ \frac{u_{n+1}}{u_n} \ ;\ n\ge N \right\}$

le plus grand réel minorant les rapports $u_{n+1}/u_n$ lorsque $n\geqslant N$. Alors $q>1$ et pour tout $n\geqslant N$, $u_{n+1}\geqslant qu_n $. Ainsi par récurrence immédiate, que quel que soit $n\geqslant N$, $u_n\geqslant q^{n-N} u_N$. Or $q^{n-N} >1$ donc on en déduit que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} q^{n-N} u_N = {+\infty}$. D'où la conclusion.

Cordialement,

Réponses

  • Bonjour,
    C'est bien, mais tu n'expliques pas vraiment pourquoi $q>1$.
    Je pense que tu peux faire encore plus simple en prenant directement un rang $N$ pour lequel $u_{n+1}/u_n\geqslant\alpha>1$ dès que $n\geqslant N$.
    Il suffit de prendre $\varepsilon$ dans $\left]0;\ell-1\right[$ dans la définition de la limite et $\alpha=1+\varepsilon$.
  • Bonjour, j'avoue avoir du mal à justifier que $q >1$ parce que ça me paraissait raisonnablement clair. Comment le justifieriez-vous ?

    Sinon j'avais pensé à prendre le "milieu" entre $1$ et $\ell$, c'est-à-dire qu'il existe un rang $N$ à partir duquel pour tout $n\ge N$, $u_{n+1}/u_n > (\ell +1)/2 >1$.
  • Trous autres méthodes de démonstration :
    1) Montrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ est croissante puis appliquer le théorème de la limite monotone.
    2) Utiliser le lemme de l'escalier sur la suite $(\ln(u_n))_{n\in\N}$.
    3) Choisir un réel $q$ tel que $1<q<\ell$ et montrer qu'à partir d'un certain rang $n_0$, $u_n\geq u_{n_0}q^{n-n_0}$.
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