Comparaison d’ordre

Bonsoir,
Un exercice élémentaire:

Donner une CNS pour que les éléments x et -x aient le même ordre dans le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l’anneau Z/nZ.

Cordialement

Yann

Réponses

  • Il me semble qu'il faut et il suffit que l'ordre de $x$ soit pair.

    Édit : en supposant que $n\neq 2$. (:P)
  • @MrJ : Si $x^3 \equiv -1 [n]$ alors $-x$ est d'ordre $3$ pourtant $x$ est d'ordre pair. Pire, en prenant $x = -1$. (:P)

    En fait il se peut que $x$ soit d'ordre pair mais $-x$ d'ordre impair. Ça se produit exactement lorsque $x$ est racine $k$-ième de $-1$ avec $k$ impair. Par le lemme chinois, c'est équivalent à ce que $x$ soit racine $k$-ième de $-1$ modulo tous les $p^{v_p(n)}$. On se ramène donc au cas où $n = p^{\alpha}$ est une puissance d'un nombre premier.

    Si $x^k \equiv -1 [p^{\alpha}]$ alors $x^{2k} \equiv 1 [p^{\alpha}]$ et donc l'ordre de $x$ modulo $p^{\alpha}$ divise $2k$ mais pas $k$. Autrement dit, l'ordre de $x$ modulo $p^{\alpha}$ s'écrit $2l$ avec $l \mid k$ puisque $k$ est impair. Mais alors $2l$ divise $\varphi(p^{\alpha}) = p^{\alpha-1}(p-1)$.

    Si $p=2$, ça veut dire que $l=1$ et donc $x \equiv -1 [2^{\alpha}]$. Si $p$ est impair, ça veut dire que $l$ divise $p^{\alpha-1}\frac{p-1}{2}$, et $x^l \equiv -1 [p^{\alpha}]$.

    Je ne sais pas trop quoi dire d'autre !
  • Tu as raison, je l'ai fait de tête mais je suis allez trop vite à la fin.

    En fait (si je n'ai pas fais une autre erreur), j'ai montré que si l'ordre de $x$ et l'ordre de $-x$ sont pairs, alors ils ont le même ordre (ce qui n'est pas une condition très satisfaisante).
  • Dans $(\Z/N\Z)^{\times}$ ($N>2$), $x$ et $-x$ ont le même ordre si et seulement si l'ordre de $x$ est un multiple de $4$.
  • Je corrige : $x$ et $-x$ ont même ordre si et seulement si l'ordre $m$ de $x$ est pair et $(-x)^{m/2}\neq 1$.
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