Unique solution faible à une EDS
Bonjour à tous
J'ai $b$ mesurable bornée, et l'EDS
$$dX_t=b(t,X_t)dt+dB_t$$
En utilisant le théorème de Girsanov, on peut montrer qu'il existe une solution faible. Mais ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi cette solution est unique...
Quelqu'un aurait une indication ?
J'ai $b$ mesurable bornée, et l'EDS
$$dX_t=b(t,X_t)dt+dB_t$$
En utilisant le théorème de Girsanov, on peut montrer qu'il existe une solution faible. Mais ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi cette solution est unique...
Quelqu'un aurait une indication ?
Réponses
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Est-ce que ma démonstration fonctionne ?
Je pars d'un $\mathbb{P}$-mouvement brownien $B_t$, et x$X_t$ est une solution de $$
X_t=x+\int_0^t b(s,X_s)ds + B_t.
$$ Cette solution existe (c'est un corollaire du théorème de Girsanov), et je vais utiliser Girsanov pour montrer qu'il y a unicité faible.
Je pose $L_t=-\int_0^t b(s,X_s)dX_s$, et $Z_t=\mathcal{E}(L_t)$ son exponentielle stochastique.
D'après le critère de Novikov (car $b$ est bornée) on peut appliquer Girsanov qui montre que $$
B_t - \langle B_t~|~L_t\rangle = B_t + \int_0^t b(s,X_s)ds=X_t
$$ est un $\mathbb{Q}=Z_T\cdot\mathbb{P}$ mouvement brownien.
Ainsi, pour toute fonction-test $f$ on a $$
\mathbb{E}(f(X_t))=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}(f(X_t) Z_T^{-1})=\mathbb{E}(f(B_t) e^{\int_0^t b(s,B_s)dB_s + \frac{1}{2} \int_0^t b^2(x,B_s)ds}):=a_f.
$$ On a donc déterminé la loi de $X_t$ de façon unique, et il y a unicité faible.
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