Équations différentielles non ordinaires

Bonjour,
j'essaye d'étudier complètement deux équations différentielles non ordinaires, mais je bloque sur certaines questions.
Je viens donc solliciter votre aide pour essayer de les résoudre complètement.

[size=large]Première équation différentielle[/size]
Pour le premier problème, on fixe un réel $\lambda\in\R$ et on souhaite déterminer les fonctions dérivables $f:\R\to\R$ vérifiant
\[\forall x\in\R,\quad f'(x)=f(\lambda x)\tag{$E_1$}.\]
Il me semble avoir démontré que si $|\lambda|\leq 1$, alors toutes solutions de $(E_1)$ est développable en série entière. On en déduit que si $|\lambda|\leq 1$, les solutions de $(E_1)$ sont les fonctions de la forme $f:\R\to\R$ définie par
\[\forall x\in\R,\quad f(x)=\alpha\sum_{k=0}^{+\infty} \lambda^{k(k-1)/2}\dfrac{x^k}{k!}\quad\text{où}\quad \alpha\in\R.\]
Ensuite, je bloque si $|\lambda|>1$ (j'ai un vague souvenir que cette question a peut-être été posée sur le forum pour $\lambda=2$ et qu'un participant avait montré qu'il n'y avait que la solution nulle, mais mes souvenirs sont peut-être erronés).

Question 1: Quelles sont les solutions de $(E_1)$ dans le cas où $|\lambda|>1$?
[size=large]Seconde équation différentielle[/size]
Pour le second problème, on fixe également un réel $\lambda\in\R$ et on souhaite déterminer les fonctions dérivables $f:\R\to\R$ vérifiant \[
\forall x\in\R,\quad f'(x)=f(x)f(\lambda x)\tag{$E_2$}.
\] De même, il me semble que si $|\lambda|\leq 1$, alors toutes solutions de $(E_2)$ est développable en série entière. On en déduit que si $|\lambda|\leq 1$, les solutions de $(E_2)$ sont les fonctions de la forme \[
\forall x\in\R,\quad f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k\dfrac{x^k}{k!},
\] où la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est définie par $a_0\in\R$ et \[
a_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\lambda^k a_k a_{n-k}.

\] On peut vérifier que l'on a la majoration $|a_n|\leq n!\cdot |a_0|^{n+1}$ pour tout $n\in\N$ et on en déduit que le rayon de convergence de la série entière est au moins $1/|a_0|$. Pour $\lambda=1$, on peut vérifier directement que le rayon de convergence est exactement $1/|a_0|$, mais dans les autres cas je n'y arrive pas.

Question 2: Si $\lambda\in [-1,1[$, quelle est le rayon de convergence de la série entière solution de $(E_2)$ ?

Question 3: Quelles sont les solutions de $(E_2)$ dans le cas où $|\lambda|>1$?
Je vous remercie d'avance pour votre aide !

Réponses

  • Bonjour,

    Pour $\lambda$ quelconque, cherche des solutions sous la forme $\displaystyle f(x)=\sum_{n\in \Z} c_n e^{b \lambda^n x}$ avec $b$ non nul.
  • Merci YvesM pour ta suggestion.

    Il me semble que si l'on calcule formellement (j'ai pris $c_0=1$), on trouve \[
    \forall x\in\R,\quad f(x)=\sum_{n\in\Z} \dfrac{\lambda^{-\frac{n(n+1)}{2}}}{b^n} \exp\left(b\lambda^n x\right).
    \] Sauf si j'ai fait une faute de calculs, il me semble par contre que la série ne convergera pas sur un voisinage de $0$, mais on peut s'arranger pour la faire converger sur $\R_+$ ou $\R_-$.
  • Pour la question 2, j'ai essayé d'émettre une conjecture pour le rayon de convergence à l'aide de python, mais je n'ai rien réussi à observer d'intéréssant...
  • Bonjour,

    Pourquoi ce truc ne converge pas en $0$ ?
    Tu peux choisir $b$ complexe non nul pour assurer la convergence, non ? Au moins que $[0,+\infty[$ avec $\Re(b)<0.$
  • Tu as raison YvesM : en fait, j’étais focalisé (à tort) sur les solutions définies sur $\R$ en entier.
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