Rang d'une variable aléatoire

Ramufasa

Bonjour, on considère X1, ..., Xn des variables aléatoires iid. On note Rk le rang de Xk dans l'échantillon (=1 si Xk est la valeur la plus faible, =n si c'est la valeur la plus importante). Il s'agit de montrer que Rk suit une loi uniforme discrète et de trouver la loi de Rk sachant Rl.
Pour la première partie, le résultat me semble clair intuitivement, et c'est clairement le caractère iid des Xi qui joue mais je ne vois pas comment formaliser le raisonnement.
Merci d'avance

malavita

Bonjour,

que se passe-t-il si $(X_1,X_2,X_3,X_4)=(1,1,2,1)$ ? A-ton $R_1=R_2=R_4=1$ et $R_3=2$ ?

A+

F.

Ramufasa

Bonjour,
Désolé du manque de rigueur.

Comme les variables sont continues à densité, on suppose que Rk!=Rl.
Merci

malavita

Peut être qu'en commençant à s'intéresser au cas de deux variables, on peut se faire une idée.
Dans ce cas$R_1=1$ est équivalent à $X_1<X2$ et $R_2=2$ est équivalent à $R_1>R2$. Ça ressemble donc bien dans ce cas à une loi équiprobable.
Pour trois variables, on a:
$R_1=1$ si et seulement si $X_1 <X_2$ et $X_1<X_3$,
$R_1=2$ si et seulement si ($X_2 < X_1$ et $X_1<X_3$) ou ($X_3 < X_1$ et $X_1<X_2$),
$R_1=3$ si et seulement si $X_2<X_1$ et $X_3 < X_1$.
A vu de nez cela semble aussi équiprobable.
Sans doute peut on généraliser....

A+

F.

Ramufasa

Bonjour,

Je te remercie de ton aide. C'est effectivement l'intuition que j'ai eu aussi mais c'est justement la phase de généralisation et de formalisation qui me pose pb.

Merci d'avance

Lucas

Bonjour,

À la page 3 de ces notes de cours (lien) il y a une explication plus formelle.

Ramufasa

Bonjour
Je te remercie pour la référence, j'ai bien compris l'idée.

Concernant la loi de Rk sachant Rl, quelqu'un aurait une petite idée ?

malavita

Bonsoir,

j'imagine que c'est le même genre de calcul: si tu veux calculer $p(R_2=i/R_1=k)$, tu dois étudier l'évènement $(R_2=i) \cap (R_1=k)$. Pour décomposer cet évènement, en évènements élémentaires tu dois donc choisir $n$ indices $j_1,\cdots,j_n$ tels que $j_i=2,j_k=1$ et $X_{j_1} <X_{j_2}<\cdots<X_{j_n}$, il y a donc $(n-2)!$ choix possibles. L'évènement $(R_2=i) \cap (R_1=k)$ est alors la réunion disjointe des évènements $X_{j_1} <X_{j_2}<\cdots<X_{j_n}$. Tu en déduis que:
$$
p(R_2=i/R_1=k)=\frac{(n-2)!}{(n-1)!}=\frac{1}{n-1}
$$

Ramufasa

Merci bcp à tous !