Homomorphisme injectif entre localisés

Nicodan

Bonjour à tous,

On considère un homomorphisme d'anneaux commutatifs unitaires $\phi : A\longrightarrow B$. Soit $\frak{q}$ un idéal premier de $B$. Alors $\phi^{-1}(\frak{q})$ est un idéal premier de $A$ et on dispose d'un homomorphisme naturel $$\phi_\frak{q}: A_{\phi^{-1}(\frak{q})}\longrightarrow B_\frak{q}.$$

Mon problème est le suivant : est-ce $\phi$ injectif implique $\phi_\frak{q}$ injectif ?

Soit par exemple $a,f\in A$ tel que $f\notin\phi^{-1}(\frak{q})$ et tel que $\phi_\frak{q}(\frac{a}{f})=0$

Alors $\frac{\phi(a)}{\phi(f)}=0$ dans $B_\frak{q}$.

Donc il existe $g\notin\frak{q}$ tel que $g\phi(a)=0$ dans $B$ par définition du localisé. Clairement, $g\not=0$.

Sous l'hypothèse $\phi$ injectif et $B$ intègre (donc $A$), on a bien $a=0$.

Mais que faire dans le cas général ?

Bruno

Rappelle-moi, s'il te plaît, $B_{\mathfrak q}$ qu'est-ce ?

Bruno

Nicodan

C'est le localisé de $B$ suivant $frak{q}$, c'est-à-dire l'ensemble des quotients $\frac{a}{f}$ où $a,f\in B$ tels que $f\notin\frak{q}$.

Nicodan

C'est le localisé de $B$ suivant $\frak{q}$, c'est-à-dire l'ensemble des quotients $\frac{a}{f}$ où $a,f\in B$ tels que $f\notin\frak{q}$.

Alain Debreil

Bonsoir Nicodan

Quel est exactement le problème ?
Tu as quasiment montré que $\phi$ injectif ssi $\phi_{\frak{q}}$ injectif.
Qu'entends-tu par " Mais que faire dans le cas général " ?

Alain

Nicodan

Le cas général, c'est que l'anneau $B$ est quelconque i.e. pas nécessairement intègre... Et j'ignore si le résultat est encore valable dans ce cas, même si l'énoncé d'exercice que j'ai sous les yeux suggère que oui...

YB0

C'est bien faux en général.

Pour s'en convraincre, il est utile de penser en termes de géométrie algébrique:
- idéaux premiers = points
- anneaux = fonctions sur les variétés
- localisés = germes de fonctions aux voisinage du point

Il suffit de prendre $A = B \times B'$, $\varphi:A\to B$ la projection et $\mathfrak{q}$ un idéal premier de $B$.

Alors
- $\Spec(A) = \Spec(B) \coprod \Spec(B')$ est réuniion disjointe de $B$ et d'un autre schémas.
- $B_{\mathfrak{q}}$ sont les germes de fonctions au point $x$ correspondant à $\mathfrak{q}$

$\varphi$ induit un isomorphisme avec $A_{\varphi^{-1}\mathfrak{q}}$ car les germes de fonctions ne dépendent pas de $B'$ pourtant $A \neq B$.

Comme son nom l'indique, un localisé est un objet local.

Tu peux te poser la même question en supposant que $\varphi$ induit un isomorphisme pour tout $\mathfrak{q}$. La réponse est encore non. Tu considère $A = k[t]$ (qui correspond à la droite affine) et $B = k[t,t^{-1}]$ (qui correspond à la droite privée de 0). Alors, pour tout $\fr{p}$ de $B$, l'inclusion de $A$ dans $B$ induit un isomorphisme des localisés.

YB0

Désolé je reposte ma réponse pour cause d'erreurs de LaTeX et surtout de maths.


C'est bien faux en général même si tu supposes que $\varphi$ est injectif sur tous les localisés pour $\mathfrak{q}$ idéal premier de $B$.

Pour s'en convraincre, il est utile de penser en termes de géométrie algébrique:
- idéaux premiers = points
- anneaux = fonctions sur les variétés
- localisés = germes de fonctions aux voisinage du point $\mathfrak{q}$ et de son image

Il suffit de prendre $A = B \times B'$, $\varphi:A\to B$ la projection et $\mathfrak{q}$ un idéal premier de $B$.

Alors
- $Spec(A) = Spec(B) \coprod Spec(B')$ est réunion disjointe du spectre de $B$ et d'un autre schéma.
- $B_{\mathfrak{q}}$ sont les germes de fonctions au point $x$ correspondant à $\mathfrak{q}$

$\varphi$ induit un isomorphisme avec $A_{\varphi^{-1}\mathfrak{q}} \to B_{\mathfrak{q}}$ car les germes de fonctions ne dépendent pas de $B'$ pourtant $A \neq B$.

En espérant ne pas avoir raconté de bétises cette fois-ci.

Nicodan

Bonjour YB,

Merci pour ta réponse.

Tu établis que $\varphi_\frak{q}$ injectif n'implique pas $\varphi$ injectif.

Mais j'ai besoin de l'autre implication : est-ce que $\varphi$ injectif implique $\varphi_\frak{q}$ injectif ?

Cordialement

YB0

La encore, il semble que ce soit faux, en tout cas si les anneaux ne sont pas intègres.

On considère $A = k[x]$, $B = k[x,y]/(xy)$ et l'inclusion $A \subset B$.
On localise en l'idéal premier $(x)$.

Alors, $x$ est non nul dans $A_{(x)}$. Mais, il le devient dans $B_{(x)}$ car $y\notin (x)$ et $xy = 0$.

MZo

Je reviens sur le contre-exemple proposé par YB.
Comment identifier que $B_{(x)}$ ? Il semble qu'il soit isomorphe à $k[y,y^{-1}]$.
Pour le montrer, je considère le morphisme $\varphi$ de $k$-algèbres $k[y,z] \longrightarrow B_{(x)}$ qui à $y$ (resp. $z$) associe $y$ (resp. $y^{-1}$) ; il se factorise en $\overline{\varphi}$ à travers $k[y,z]/(yz-1) = k[y,y^{-1}]$. Comment montrer que $\overline{\varphi}$ est bijectif ?