Développement en série entière

Soient $a$ un réel dans $]1,2[$ et $f$ définie par $$xf(x)=1-(1-x)^{a}$$ pour tout $x$ dans $]0,1] $. $f$ est développable en série entière à l'origine sur $[0,1]$ et son inverse est aussi développable en série entière à droite de 0. Il semblerait que les coefficients de ce développement (de l'inverse) soient positifs. Je n'ai pas trop d'idées pour y parvenir. D'avance merci.

Réponses

  • Lorsque l'on parle d'inverse de série entière, un réflexe possible est le théorème de Kaluza.

    Dans ce papier https://arxiv.org/pdf/1010.5337.pdf, qui est un survol de cette théorie, tu trouveras en Proposition 3.7 une condition suffisante pour que les coefficients de l'inverse de ta série entière soit positifs.
  • Cette question a été résolue par LOU16 dans ce fil : Une petite série entière
  • Bonjour,
    Ce calcul devrait marcher:
    posons bk= a(a-1)(a-2)...(a-k+1)/k!
    Le développement de f(x) est
    a - b2x + b3x² - b4x3 + ...
    Mais comme a est dans ]1, 2[, on a b2 > 0, b3 < 0, b4 > 0, etc...

    Il s'agit donc d'inverser f(x) = a - S(x) où S(x) = b2x - b3x² + b4x3 + ...
    n'a que des coefficients positifs.
    Ainsi 1/f = 1/a + S/a² + S²/a3 + ... n'a que des coefficients positifs.
    Cordialement.
  • Oups, je n'avais pas lu la réponse de Jandri...
  • N'empêche, et sans vouloir insister, je redis : ces questions d'inverses de séries entières sont souvent résolues par Kaluza.
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