Loi bien définie

Bonjour à tous,

Dans un manuel scolaire collège je tombe sur un exercice. Je me fiche des consignes mais je m’intéresse au début.
On donne un loi $*$ sur les entiers : (je formalise car ce n’est pas fait entièrement)

Quels que soient $a, b, c$ et $d$ chacun dans $\Z$ :
$a*a=a$
$a*0=2a$
$(a+b)*(c+d)=a*c+b*d$

Ma question : comment être sûr que cette loi est bien définie ?
Je veux dire comment démontrer que pour des entiers $a$ et $b$, $a*b$ ne donne pas deux valeurs distinctes ?
En effet j’arrive à trouver une formule facile pour $a*b$ en utilisant les contraintes (et un cheminement possible) mais n’est-ce pas possible qu’une contradiction existe, du style trouver $u$ et $v$ tels que $u*v=3$ avec cette méthode et $u*v=5$ avec une autre méthode ?

En gros est-ce que la fonction $*$ de deux variables est « bien définie » ? Surtout comment le démontrer ?
Cordialement
Dom

Réponses

  • As-tu essayé de transformer des expressions du genre
    $a*b=(a+0)*(0+b)$
    etc ?
  • Oui, oui. J'obtiens même : $a*b=2a-b$ en suivant un cheminement de ce type.
    La question est "est-on certain qu'on n'arrive pas à une contradiction si on choisit $a+0$ au lieu de $0+a$ dans les décompositions, etc. ?

    Question subsidiaire : est-ce que cette loi tombe de quelque part ou est-ce une invention sans fondement ?
  • Un exemple :
    Je définis une loi sur $\R$.
    Pour tout $u$, $u°u=u$ et $5°5=1$.
    Là, on voit bien que cette loi est mal définie.
  • Bonjour Dom,
    Si on pose $a*b:=2a-b$, alors cette loi est bien définie et elle vérifie les axiomes de ton premier message. Donc ces axiomes ne peuvent impliquer de contradiction (si les maths ne contiennent pas d'incohérence).
  • Dom a écrit:
    mais n’est-ce pas possible qu’une contradiction existe, du style trouver $u$ et $v$ tels que $u*v=3$ avec cette méthode et $u*v=5$ avec une autre méthode ?

    Du moment que tu as trouvé une solution qui vérifie les 3 axiomes, ces axiomes ne se contredisent pas... en effet en supposant que tu arrives à trouver $u*v=3$ par un certains cheminement et $u*v=5$ par un autre alors tu aurais démontré qu'il n'existe pas une fonction a deux variables qui vérifie les 3 axiomes (car autrement 3=5 ce qui est absurde) !
  • Ok Calli.

    Je crois que j’ai déjà posé une question de ce type tout en y répondant en plus... hum...
    Je note A les propriétés de *.
    Je note B : $a*b=2a-b$.

    On prouve : A => B
    On prouve : B => A

    On en déduit :
    si A => tout, alors B => tout, or B est bien définie etc.

    Pour la question subsidiaire : d’où ça sort ? (Si ça sort de quelque part...)
    C’est amusant car la troisième propriété ressemble à un développement double mal maîtrisé : (A+B)(C+D)=AC+BD.
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