Sous-groupe fini d'un corps

Bonjour
Je veux prouver le résultat suivant.Soit $p\in\mathcal{P}$. Alors $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times,\times)$ est cyclique.Je connais le résultat suivant.Si $K$ est un corps et que $G$ est un sous-groupe fini du groupe multiplicatif des inversibles des inversibles $(K^\times,\times)$ alors $G$ est cyclique.Je voudrais l'appliquer ici.
On a : $p\in\mathcal{P}\iff K:=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ est un corps.
Je sais aussi que $G:=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ est un groupe multiplicatif de cardinal $\mathrm{card}(G)=\phi(p)=p-1$.
En conséquence, $G$ est bien un sous-groupe fini du corps $K$, et j'ai même l'impression que $G=K$.
Ainsi, $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times,\times)$ est cyclique.

Mon interrogation, elle porte sur le résultat que j'utilise. Lorsqu'on dit $G$ est un sous-groupe du groupe $(K^{\times},\times)$, puis-je prendre $G=K^{\times}$ ?
Ou alors je confonds les notations. Il m'arrive en effet de voir la notation $A^\times$ et $A^*$, qui peut me troubler.
Pouvez-vous m'éclairer ?
D'avance merci.
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Réponses

  • Pour tout groupe $G$, $G$ est un sous-groupe de $G$ : démontre-le ! (c'est évident).

    Par contre $G = \left(\mathbb Z/p \mathbb Z\right)^{\times}$ n'est bien évidemment pas égal à $ K = \mathbb Z/p \mathbb Z$ puisque $\overline 0 \in K$ mais pas à $G$. Attention, quand tu dis que $G$ est un sous-groupe fini du corps $K$, ça ne vaut au mieux rien dire (un corps n'est pas simplement un groupe) et au pire faux (le groupe sous-jacent au corps $K$ est $(K, +)$).

    Reprends ta preuve en appliquant soigneusement le résultat que tu cites. Ce que tu as fait est essentiellement correct, mais il faut que tu sois rigoureux dans le choix de tes mots.
  • Ok ! Je reprends.

    On a : $p\in\mathcal{P}\iff$ l'anneau $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+,\times)$ est un corps.

    Je sais aussi que le groupe multiplicatif $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times,\times)$ est de cardinal $card((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times)=\phi(p)=p-1$.

    Mais alors $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times,\times)$ est un sous-groupe fini du groupe $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times,\times)$

    [C'est ici qu'il faut comprendre que l'on choisit $(G,\times)$ comme sous-groupe fini du groupe multiplicatif $(K^{\times},\times)$ "issue" du corps $(K,+,\times)$].

    En application du théorème, on conclut que : $((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times,\times)$ est cyclique.

    Est-ce mieux ?
  • Rien à redire maintenant !
  • Poirot a écrit:
    Pour tout groupe $G$, $G$ est un sous-groupe de $G$ : démontre-le ! (c'est évident)
    Je comprends mieux cette remarque !

    Pour être précis, voici l'énoncé du théorème :

    On considère un corps $(K,+,\times)$ et son groupe multiplicatif $(K^\times,\times)$.
    Si $G$ est un sous-groupe fini du groupe $(K^\times,\times)$ alors $G$ est cyclique.

    Et ce théorème autorise à prendre $G=K^{\times}$ puisque $K^{\times}$ est un sous-groupe du groupe $(K^\times,\times)$.
  • Oui ! Attention, dans la propriété que tu cites, le groupe est supposé fini (sinon c'est faux en général).
  • C'est corrigé ! Merci :)
    J'ai l'impression que les notations $K^\times$ et $K^*$ sont équivalentes, c'est sûrement affaire de goût ?

    C'est l'ensemble $K^*=K^\times:=\{x\in K\mid \exists y\in K,\ xy=yx=1\}.$
  • Dans les corps oui, en général non, je m'explique.

    Si $A$ est un anneau commutatif unitaire, il est standard de noter $A^{\times}$ l'ensemble de ses éléments inversibles. En particulier si $A$ est un corps alors $A^{\times} = A \setminus \{0\}$.

    Maintenant on a aussi pris l'habitude, pour les ensembles de nombres usuels $\mathbb N, \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R$ et $\mathbb C$, de noter $\mathbb E^* = \mathbb E \setminus \{0\}$. Ce qui fait qu'effectivement $\mathbb K^* = \mathbb K^{\times}$ lorsque $\mathbb K$ est l'un des trois corps ci-dessus. Je ne suis pas sûr que la notation $A^*$ soit standard pour désigner $A \setminus \{0\}$ pour n'importe quel anneau $A$ par contre.
  • Je vois, c'est très clair ! Je ferais attention aux notations.

    Est-ce qu'il existe un exemple simple de sous-groupe infini $G$ du groupe multiplicatif $(K^{\times},\times)$ d'un corps $(K,+,\times)$ tel que $G$ ne soit pas cyclique ?
  • Bien sûr, si $K$ est un corps infini, $K^{\times}$ est infini. Donc tu peux prendre $\mathbb C^{\times}$ ou $\mathbb Z/p\mathbb Z(X)^{\times}$ par exemple.
  • J'essaye de reformuler :

    On considère le corps $(\mathbb{C},+,\times)$ et son groupe multiplicatif $(\mathbb{C}^{\times},\times)$ [avec, ici, la notation que $\mathbb{C}^{\times}=\mathbb{C}^*$]

    Dans ce cas, $(\mathbb{C}^\times,\times)$ est un sous-groupe infini du groupe multiplicatif $(\mathbb{C}^{\times},\times)$.

    Et il n'est pas cyclique.
  • De toute façon, il est inutile de se demander s'il est possible d'obtenir un groupe cyclique à l'arrivée, si au départ il est infini. Me trompe-je ?

    Par définition, pour que $G$ soit cyclique, il faut qu'il soit fini.
  • Oui ;-)
  • Question subsidiaire : peux-tu exhiber un corps commutatif $(K, +, \times)$ et un sous groupe monogène infini $G$ du groupe des éléments inversibles de $K$ ?
  • Je prends $(\mathbb{C},+,\times)$, son groupe multiplicatif $(\mathbb{C}^\times,\times)$.

    L'ensemble $U:=\{z\in\mathbb{C}\,,|z|=1\}$ me semble être un sous-groupe de $(\mathbb{C}^\times,\times)$.

    Il est monogène car engendré par $w=e^{i\theta}$.

    Et il est infini car pour tout $\theta\in\mathbb{R}$, $w=e^{i\theta}\in U$.

    Est-ce bon ?
  • Je crois que j'ai bien fait de poser cette question. ;-)
    Il est monogène car engendré par $w = e^{i\theta}$.

    Qui est $\theta$ ? Une fois que tu auras répondu à cette question, relis et vérifie ton assertion.

    La dernière phrase est également problématique car l'application $f\colon \R\to U$, $\theta\mapsto e^{i\theta}$ n'est pas injective !
  • Le titre du fil est maladroit, le vrai titre est : « sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps », mais ça a sans doute déjà été dit.
    Brian demande s'il y a des sous-groupes monogènes infinis du groupe multiplicatif d'un corps (commutatif). Pas besoin d'aller bien loin pour en trouver. Dans ce brave vieux $\mathbb Q$ il y en a, en veux-tu en voilà.
    Mais on peut poser la question : le groupe multiplicatif des éléments inversibles d'un corps commutatif peut-il être monogène infini ?
    Bon dimanche des Rameaux, sans rameaux :-(.
    Fr. Ch.

    ...
  • Je vois.

    $\mathbb{U}_n$ le groupe des racines n-ième de l'unité est monogène engendré par $w=e^{i\frac{2\pi}{n}}$.

    Mais ce n'est pas le cas de $\mathbb{U}$, c'est un sous-groupe du groupe $(\mathbb{C}^\times,\times)$ mais non monogène.

    Pour l'application, il faudrait associer à tout complexe $z\in\mathbb{C}^\times$ un couple $(r,\theta)\in\mathbb{R}^*_+\times\mathbb U$.

    Je dois chercher dans une autre direction.

    Un indice ?
  • Chaurien a écrit:
    Dans ce brave vieux $\mathbb Q$ il y en a, en veux-tu en voilà.

    Je ne les connais pas encore ! Il faut que je les étudie.
    Chaurien a écrit:
    Le titre du fil est maladroit, le vrai titre est : « sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps », mais ça a sans doute déjà été dit.

    J'étais limité en caractères !
  • @Chaurien Je peux donner des réponses à ma question, mais c'était un exercice pour BMaths.

    @BMaths

    1) Ton groupe $U_n$ est certes monogène mais pas infini ; il ne répond donc pas à la question (c'est sans doute ce que tu voulais dire). $U$, en effet, n'est pas monogène.

    2) Ta phrase sur l'application est bizarre. $U$ contient tout un tas de complexes non réels, et tu veux prendre $\theta$ dans $U$ ? Ce n'est certes pas interdit mais suggère une possible confusion...

    Un indice : que connais-tu comme groupes monogènes infinis ? Il y a un théorème assez important à leur sujet. Ne peux-tu pas faire quelque chose qui ressemble à ce qui se passe dans ces groupes, mais dans le groupe des éléments inversibles d'un corps commutatif, donc avec la multiplication ?
  • Je sais que tout groupe monogène est soit infini et isomorphe au groupe $(\mathbb Z,+)$, soit fini et isomorphe à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.

    Comme groupe monogène infini, je dirais $n\mathbb{Z}$, avec $n\in\mathbb{Z}$, et même $n\in\mathbb{N}$ ?
  • $n\Z$ avec $n=0$ n'est pas infini. Les autres $n\Z$, oui.

    Bon, le théorème implique que tout groupe monogène infini est isomporphe à $(\Z, +)$. Autrement dit, (à isomorphisme près) il n'y en a qu'un : $(\Z, +)$. Maintenant, peux-tu relire la dernière phrase de mon message précédent et essayer d'en tirer un exemple qui permet de répondre à mon modeste exercice ?

    P.S. : je n'ignore pas la question plus difficile posée par Chaurien. Si quelqu'un a la réponse, ça m'intéresse !
  • Ce serait de considérer $(nK,\times)$ pour $n\neq 0$ ?
  • Qui est $K$ et comment définis-tu $nK$ ?
  • @BMaths : un groupe monogène, c'est un groupe engendré par un élément tout seul. Donc si tu cherches un sous-groupe monogène (infini ou non) de $(K^{\times}, \times)$, il est forcément de la forme $\langle g \rangle := \{g^n \mid n \in \mathbb Z\}$ pour un certain $g \in K^{\times}$. Reste à voir quand ce sous-groupe de $K^{\times}$ est effectivement infini.
  • Prenons le corps $(\mathbb Q,+,\times)$ dont le groupe multiplicatif est $(\mathbb Q^\times,\times)$.

    On considère $H$ un sous-groupe monogène de $(\mathbb Q^\times,\times)$, non nul.

    Par théorème, il est isomorphe soit au groupe additif $(\mathbb Z,+)$, soit au groupe additif $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$.

    Raisonnons par l'absurde en supposant que $H$ est isomorphe au groupe additif $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$.

    Dans ce cas, $card(H)=card(\mathbb Z/n\mathbb Z)=n$

    Puisque $H$ est non nul, il existe un élément $x$ dans $H$ non nul. Et l'on a $<x>\subset H$.

    Par le théorème de Lagrange, $o(x)=card(<x>)\mid card(H)$, soit $o(x)\mid n$.

    D'où $nx=0$. En multipliant à gauche par l'inverse de $n$ (il existe car $n\in \mathbb Z\subset \mathbb Q$), je trouve $x=0$.

    Contradiction avec le fait que $x$ ait été supposé non nul.

    Donc $H$ est isomorphe à $(\mathbb Z,+)$ et est infini.

    On a un sous-groupe monogène de $(\mathbb Q^\times,\times)$ qui est infini.

    Qu'en pensez-vous ?
    Je ne suis pas certain de ce que je fais.
  • À aucun moment tu ne t'es servi du fait que tu disposais d'un sous-groupe de $(\mathbb Q^{\times}, \times)$, c'est un peu inquiétant non ? Tu confonds plusieurs structures en même temps ! La loi de groupe dans $H$ est la multiplication de $\mathbb Q$, et le neutre est $1$. En particulier tu n'as pas $nx=0$ mais $x^n=1$, ce qui n'a a priori rien d'absurde.
  • Je vois. Je tente autre chose.

    Je sais que l'ensemble des décimaux $\mathbb D$ est un sous-anneau de $(\mathbb Q,+,\times)$ avec $\mathbb D^\times=\{\pm 2^p5^q\mid p,q\in\mathbb Z\}$. Je pense pouvoir écrire que $\mathbb D^\times=<\{2,5\}>$. Il est engendré par la partie $\{2,5\}$, donc il n'est pas monogène.


    Pour "rectifier", je prends $A:=\{\frac{m}{2^n}\mid m\in\mathbb Z\,,n\in\mathbb N\}$. C'est un sous-anneau de $(\mathbb Q,+,\times)$ et je trouve $A^\times=\{\pm 2^k\mid k\in\mathbb Z\}$. Cette fois, je peux écrire $A^\times=<\{2\}>$ : il est monogène engendré par la partie $\{2\}$.

    De fait, dans le corps $(\mathbb Q,+,\times)$ de groupe multiplicatif $(\mathbb Q^\times,\times)$, on a trouvé un sous-groupe $(A^\times,\times)$ de ce dernier qui est monogène et infini.
  • Attention, ton $A^{\times}$ n'est pas le sous-groupe de $\mathbb Q^{\times}$ engendré par $2$. Et tu te compliques inutilement la vie en passant par des sous-anneaux de je ne sais quoi, je t'ai déjà dit qu'il suffisait de prendre (par définition d'un groupe monogène !) le sous-groupe engendré par un certain élément, et qu'il fallait se débrouiller pour que celui-ci soit infini.

    Quand tu auras réussi à donner proprement un exemple de sous-groupe monogène infini de $\mathbb Q^{\times}$, je t'invite à chercher les sous-groupes cycliques de $\mathbb Q^{\times}$, ça te donnera un peu de recul sur le côté évident de la première question !
  • Si je travaille dans le groupe multiplicatif $(\mathbb Q^\times,\times)$, je fixe un élément $r\in\mathbb Q^\times$ alors $<r>:=\{r^k\mid k\in\mathbb Z\}$
    Si on le suppose fini, alors il serait monogène et fini, donc cyclique. Par conséquent, il serait isomorphe au groupe additif $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$.

    Il existerait alors un morphisme bijectif de $f:(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)\to (<r>,\times)$.

    Suis-je sur la bonne voie ?
  • Ce que tu dis est juste mais inutile. Prend des exemples : regarde à quoi ressemblent $\langle \frac{1}{2} \rangle, \langle -3 \rangle, \langle 1 \rangle$.
  • Ok ! Par exemple $<\frac{1}{2}>=\{\frac{1}{2^k}\mid k\in\mathbb{Z}\}$.

    Avec k=2 : $\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
    Avec k=3 $\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
    Etc.

    Je n'obtiens que des rationnels, de la forme $\frac{1}{2^k}$. Il y en a autant que de $k\in\mathbb{Z}$, c-à-d une infinité ?
  • Je vois.

    Je prends le corps $(\mathbb Q,+,\times)$ de groupe multiplicatif $(\mathbb Q^\times,\times)$.

    Le sous-groupe $<\frac{1}{2}>$ est un sous-groupe du groupe $(\mathbb Q^\times,\times)$ (il contient 1 et est stable par composition avec le symétrique pour la loi $\times$).

    Par ailleurs, il est infini.

    En effet, dans le cas contraire, il serait fini.

    Notons $n$ son nombre d'éléments.

    On aurait une bijection de $1,n$ dans $<\frac{1}{2}>$. Or l'éléments $\frac{1}{2^{n+1}}\in <\frac{1}{2}>$ et n'admet pas d'antécédents dans $1,n$. Contradiction.
  • Tu te reposes un peu trop sur le formalisme, et on voit que tu ne comprends pas vraiment les choses que tu manipules, c'est beaucoup plus simple que ça. En plus ta justification est fausse. Ce n'est pas parce que tu disposes d'une bijection entre $1, n$ et $G := \langle \frac{1}{2} \rangle$ qu'il est absurde de constater que$\frac{1}{2^{n+1}} \in G$.

    Si vraiment tu veux une démonstration rigoureuse du fait que $G$ est infini tu peux par exemple dire que $k \mapsto \frac{1}{2^k}$ est une bijection de $\mathbb Z$ dans $G$, et donc que $G$ est infini.
  • Poirot a écrit:
    Tu te reposes un peu trop sur le formalisme
    Oui, c'est un défaut, j'en ai conscience et cela me cause du tort dans mes écrits ! J'essaye de m'améliorer quand je fais des exercices :)

    Merci pour l'aide apportée !

    J'ai bien saisi
  • Tu n'as pas répondu à la question suivante : quels sont les sous-groupes cycliques de $(\mathbb Q^{\times}, \times)$ ? Plus généralement, tu peux remplacer $\mathbb Q$ par n'importe quel corps. Quand tu auras répondu à cette question tu verras qe l'exemple précédent n'a pas grand-chose à voir avec la valeur de $\frac{1}{2}$ dont on s'est servi.
  • Si $r=1$ alors $H=<1>:=\{1^k\mid k\in\mathbb{Z}\}=\{1\}$. Il est monogène et fini, donc cyclique.

    Si $r=-1$ alors $H=<-1>:=\{(-1)^k\mid k\in\mathbb{Z}\}=\{-1,1\}$ qui est également cyclique.

    Enfin, si $r\in\mathbb Q^\times\setminus\{-1,1\}$, alors $H=<r>$ est un sous-groupe monogène infini de $(\mathbb Q^\times,\times)$.

    ?
  • Oui ! Et dans un corps quelconque, quels sont les éléments qui engendrent un sous-groupe cyclique ?
  • L'anneau $(K,+,\times)$ est un corps.

    Si $H$ désigne un sous-groupe monogène du groupe multiplicatif des inversibles $(K^\times,\times)$ et si :

    1 - H est engendré par l'élément neutre ou son symétrique alors dans ce cas il est fini, donc cyclique.
    2 - H est un engendré par un élément $h\in H\setminus\{e\}$ alors dans ce cas il est infini.

    ?
  • Si l'anneau $(K,+,\times)$ est un corps, alors on a toujours $1_{K}^k=1$ pour tout $k$ dans $\mathbb{Z}$. Donc $<1>$ sera toujours un sous-groupe monogène fini du groupe multiplicatif des inversibles $(K^\times,\times)$.

    De même, $(-1_{K})^k=1$ ou $-1$. Donc $<-1>$ est également un groupe monogène fini.

    Seuls $<1>$ et $<-1>$ sont des sous-groupes monogènes fini du groupe $(K^\times,\times)$ ?
  • BMaths, tu confonds "fini" et "infini" ?
  • Etourderie de ma part. C'est corrigé.
  • Que penses-tu du sous-groupe du groupe multiplicatif de $\C$ engendré par $i$ ? (Et ce n'est que le début d'une longue série.)
  • Je dirais $<i>=<w>=\mathbb{U}_4$ en notant $w=\exp(i\frac{2\pi}{4})$. Il est cyclique.

    En fait, cela va dépendre de l'ordre de l'élément.

    Est-ce que cela revient à se demander quels sont les éléments d'ordre fini dans le corps $K$ ?
  • Oui, bien sûr, mais tu tournes autour du pot. On veut des noms ! GaBuZoMeu t'en a donné un, on en avait déjà vu deux autres, on les veut tous !
  • L'anneau $(K,+,\times)$ est un corps de groupe multiplicatif $(K^\times,\times)$.

    Je considère un sous-groupe $<x>$ de ce dernier.

    Il est fini lorsque $o(x)=card(<x>)=m<\infty$.

    Alors, on a $x^m=1$.

    C'est-à-dire $x$ est racine du polynôme $X^m-1$.

    Donc tous les sous-groupes engendrés par ces racines sont cycliques.

    En dehors, les sous-groupes sont infinis.
  • Oui, mais ces éléments $x$ portent un nom, c'est ça qu'on attend de toi. :-D
  • Ah ! Les racines de l'unité !
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