Condition de Hölder

Homo Topi

Nouvel épisode dans la série "Homo Topi découvre ou redécouvre l'analyse de L1".

L'année dernière, je découvrais qu'une fonction est uniformément continue quand on peut glisser un rectangle le long de son graphe sans jamais que la courbe ne sorte par le haut ou le bas du rectangle.

A l'instant, je découvre que pour les fonctions $k$-lipschitziennes, c'est pareil mais avec un cône de pente $k$ : c'est marqué là. Je n'avais jamais pensé à lire $|f(x) - f(y)| \leqslant k|x-y|$ comme $\bigg| \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\bigg| \leqslant k$, mais ça permet une interprétation géométrique plus simple avec un cône.

Du coup... pour une fonction $\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, $\alpha$-hölderienne ça veut dire qu'il existe $C$ tel que $|f(x)-f(y)| \leqslant C|x-y|^{\alpha}$. L'interprétation graphique me paraît moins simple... à la rigueur, on peut écrire $\bigg| \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}\bigg| \leqslant k|x-y|^{\alpha-1}$, mais je ne trouve pas ça particulièrement parlant...

Vous connaissez une bonne interprétation graphique de la condition de Hölder ?

Champ-Pot-Lion

Oui, c'est pareil qu'avec un cône sauf qu'on remplace le graphe de $x \mapsto x$ par $x \mapsto x^{\alpha}$ ! Si on prend $\alpha > 1$, on voit qu'on aura quelque chose de "plat" en zéro et ça force la fonction à être constante.

Champ-Pot-Lion

Voici une image qui correspond à ça :

Corto

Le cône pour ta fonction lipschitzienne est la région délimitée par les deux courbes $y = \pm k|x|$ que tu translate le long du graphe de $f$. Pour les Hölderiennes tu fais pareil mais avec la région délimitée par les courbes $y=\pm C |x|^\alpha$.

Edit : je suis trop lent !

Homo Topi

Donc attends... à partir de $|f(x)-f(y)| \leqslant C|x-y|^{\alpha}$, je suis censé lire "$f$ croît moins vite que la fonction $x \longmapsto x^{\alpha}$". Je ne trouve pas ça très naturel d'interpréter ces inégalités comme ça, du moins pour l'instant.

Je vais essayer de l'écrire.

Homo Topi

J'ai du mal à expliquer ce que je veux dire, mais je vais essayer.

Dans le cas lipschitzien, justement, on peut écrire $\bigg| \dfrac{f(x)-f(y)}{x-y} \bigg| \leqslant k$. Je sais que ça pose problème quand $x=y$ mais justement, on s'en fiche quand $x=y$ donc on l'écrit. Du coup, ça veut dire "l'accroissement de la fonction est borné par $k$", et c'est ça qui fait apparaître les droites de pente $\pm k$ sur le graphique. Pour moi, en tout cas.

Je ne trouve pas (encore) naturel traduire une inégalité avec des $x$ et des $y$ en "la fonction machin croît plus lentement que la fonction truc autour de tel point".

Donc je vais essayer d'écrire les choses pour m'entraîner.

Homo Topi

Une fonction $f$ serait $2$-hölderienne sur $[-1;1]$ (par exemple) si : $\exists C$, $\forall x \in [-1;1]$, $\forall y \in [-1;1]$, $|f(x) - f(y)| \leqslant C|x-y|^2$.

Maintenant, j'essaie d'écrire "$f$ croît plus lentement que $x \longmapsto x^2$ au voisinage de chaque point de $[-1;1]$" proprement : $\forall x \in [-1;1]$, $\forall y \in [-1;1]$, $x \leqslant y \Longrightarrow |f(x)-f(y)| \leqslant |x^2 - y^2|$.

L'inégalité à la fin n'est pas la même, ce n'est pas $|x-y|^2$ que je trouve :-S

Math Coss

Commence avec $y=0$.

On fixe $y$ à présent et on compare les fonctions $x\mapsto f(x)-f(y)$ et $x\mapsto C|x-y|^\alpha$ ou, ce qui revient au même $f$ et $x\mapsto f(y)\pm|x-y|^\alpha$. En effet, $|f(x)-f(y)|\le C|x-y|^\alpha$ SSI $x\mapsto f(y)-C|x-y|^\alpha\le f(x)\le f(y)+C|x-y|^\alpha$.

Point clé : pour obtenir le graphe de $g:f(y)-C|x-y|^\alpha$ à partir du graphe de $x\mapsto x^\alpha$, on effectue une translation de vecteur $(y,f(y))$ sur le graphe de $x\mapsto -C|x|^\alpha$ (pourquoi ?). Idem pour $h:x\mapsto f(y)+C|x-y|^\alpha$. Cela donne lieu au graphe dessiné posté par Champ-Pot-Lion (avec $x_0$ à la place de $y$).

Edit : c'était confus, je reformule (et j'ajoute les $C$ perdus).

Champ-Pot-Lion

@Homo Topi Juste deux remarques :
1) Il faut noter que certes la condition de Lipschitz est locale, mais pas la condition de Hölder.
2) On considère les exposants de Hölder entre 0 et 1, sinon ça donne des fonctions localement constantes : par exemple pour $\alpha = 2$, le masque est un couple de paraboles (une vers le haut, l'autre vers le bas, se touchant en leur sommet), et on voit qu'en $0$ c'est plat, ce qui va impliquer une dérivée nulle.

@Math Coss Ce n'est pas moi qui ai dessiné ce graphe : j'ai cherché sur google images et l'image vient de cette thèse.

Homo Topi

J'essaie de décortiquer ce qu'a dit Math Coss. Comme d'habitude, beaucoup d'infos en peu de mots. Au passage, il y a des constantes $C$ qui ont disparu, mais ce n'est pas grave.

Pour tout $x$, pour tout $y$, il faut qu'on ait : $f(x) \in \Big[f(y) - C|x-y|^{\alpha}; f(y) + C|x-y|^{\alpha}\Big]$
(oui, pour moi, là, c'est plus "visuel" de l'écrire comme ça qu'avec des inégalités).

Donc, à $y$ fixé, on va comparer les fonctions :
- $f$
- $g(y) : x \longmapsto f(y) - C|x-y|^{\alpha}$
- $h(y) : x \longmapsto f(y) + C|x-y|^{\alpha}$

Pour obtenir le graphe de $g(y)$ : Je prends la fonction $x \longmapsto |x|^{\alpha}$, ensuite le graphe de $x \longmapsto |x-y|^{\alpha}$ est obtenue en translatant celui de $v$ horizontalement de $y$ unités vers la droite, ensuite on applique la constante $C$ (oublié chez MC) et on translate verticalement de $f(y)$ unités vers le haut. Et pour $h(y)$, c'est pareil mais en retournant le graphe horizontalement avant de translater verticalement (c'est ça qui permet de compléter "l'enveloppe").

Mais j'ai juste une question : ce que j'ai écrit tout à l'heure, avec le $|x^2-y^2|$... c'est faux ? Ou pourquoi je ne retombe pas sur ce qu'il fallait ?


Champ-pot-lion : j'avoue ne pas avoir compris pourquoi l'une des conditions serait locale mais pas l'autre :-S

Math Coss

J'ai rectifié un peu le message ci-dessus mais tu l'avais déjà fait.

En effet, la comparaison (pour $\alpha=2$) à $x^2-y^2$ n'est pas pertinente : ce qui compte dans la condition de Hölder, c'est $(x-y)^2$.

Tu vois sur le dessin ($y=6/5$) qu'être entre les deux courbes orange est beaucoup plus contraignant qu'être entre les deux courbes bleues, du moins au voisinage de $y$

Homo Topi

J'ai du mal à comprendre où apparaît mon défaut d'interprétation. Dans le cas $\alpha=2$, tu as dit toi-même que la fonction à laquelle on doit comparer est une translatée/dilatée de $x \longmapsto |x|^2$. Et pour moi, "$g$ croît plus vite que $f$" ça veut dire $|f(x)-f(y)| \leqslant |g(x)-g(y)|$. Mais dans la condition de Hölder, ce n'est pas ça qui apparaît, donc où ai-je mal interprété un truc ?

Champ-Pot-Lion

Mais ici on considère $f$ à partir de chaque point $x$ ("pour tout $x$") et on considère $|x|^{\alpha}$ en partant de $0$. Ce qu'on veut vraiment, c'est que pour tout $x$, la fonction $y \mapsto f(x+y)$ croisse moins vite que $|y|^{\alpha}$. Et on part de $f(x)$ en $y=0$, donc ce qu'on veut c'est en fait que $f(x+y)-f(x)$ croisse moins vite que $|y|^{\alpha}$.

Pour ce qui est de la non-localité, prends par exemple sur $\left]0,1\right[$ la fonction $x \mapsto 1/x$. Elle est "localement Hölder" mais pas Hölder. Ce qui pose problème est qu'en collant des petits bouts de $x \mapsto |x|^{\alpha}$, on peut obtenir quelque chose qui croît arbitrairement vite. Alors qu'en collant des bouts de $x \mapsto |x|$, on retrouve toujours la même chose. Mais c'est plus simple avec la visualisation.

Homo Topi

J'ai fini par comprendre, merci.

gebrane

J'ai fini par comprendre, merci.

Si je te donne un dessin, sauras-tu si la fonction serait höldérienne ?

Champ-Pot-Lion

Bravo Homo Topi !

Homo Topi

T'es gentil de me donner la fonction que tout le monde voit en exemple sur la condition de Hölder, toi :-D

Oui, la fonction $x \longmapsto x^{1/2}$ est $\dfrac{1}{2}$-hölderienne. Sans même le savoir déjà à l'avance, elle est dérivable et sa dérivée tend vers $0$, donc elle croît de plus en plus lentement, et elle croît le plus vite en $0$. Donc en chaque point, elle croît moins vite qu'elle-même en $0$.

Il faudrait que je regarde si toutes les fonctions $x^{\alpha}$ avec $\alpha < 1$ sont $\alpha$-hölderiennes sur tout leur ensemble de définition, tiens... ça serait un bon entrainement en bidouillage d'inégalités pour moi.

gebrane

Tu sais que je t'aime bien et j'allais te donner après le cas des $x^\alpha$ mais tu es quelqu'un d'averti

Homo Topi

Bon, déjà je sais que les $x^{\alpha}$ avec $\alpha > 1$ ne seront pas $\alpha$-hölderiennes, parce qu'elles ne sont déjà pas uniformément continues.

Je fixe $\alpha \in ]0;1[$.

Il faut que je trouve une inégalité de la forme $|x^{\alpha} - y^{\alpha}| \leqslant C|x-y|^{\alpha}$.

$f : s \longmapsto s^{\alpha} := e^{\alpha \ln(s)}$ est infiniment dérivable.

$f'(s)=\dfrac{\alpha}{s}e^{\alpha \ln(s)}$

$f''(s) = \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{s^2}e^{\alpha \ln(s)} <0$ pour tout $s \in ]0;\infty[$, donc $f$ est concave.

Du coup, pour tout $t \in [0;1]$, on a : $ tx^{\alpha} + (1-t)y^{\alpha} \leqslant (tx + (1-t)y)^{\alpha}$. Avec $t = \dfrac{1}{2}$, ça donne :

$x^{\alpha} + y^{\alpha} \leqslant 2\bigg( \dfrac{x+y}{2} \bigg)^{\alpha} = 2^{1 - \alpha}(x+y)^{\alpha}$

Bon, ça ressemble déjà un peu, mais il manque toujours les $-$ et les valeurs absolues... il faut que j'aille faire les courses bientôt, je verrai bien si j'ai une meilleure idée d'ici à ce que je sois rentré.

gebrane

Je vais alléger tes souffrances
$f=x^{\alpha}$ est bien $\alpha$-Holder car positive et $f^{1/ \alpha}$ est 1-Lip
A quelle condition $f=x^{\alpha}$ est bien $\beta $-Holder ?

Homo Topi

Ah, oui, c'est plus simple comme ça.

Si $\alpha$ et $\beta$ sont entre $0$ et $1$, c'est quand $\alpha \leqslant \beta$ car $x \longmapsto x^{\beta}$ croît plus vite que $x \longmapsto x^{\alpha}$ autour de $0$. Pour l'écrire avec des inégalités, ça va être lourd.

Calli

(Remarque : Dériver $s^\alpha$ par rapport à $s$, c'est la même formule que pour dériver $s^n$ : $\alpha s^{\alpha-1}$. Pas besoin de mettre sous forme exponentielle.)

gebrane

Calli ta formule de dérivation n'est-elle pas dangereuse ? : si on dérive $(2s)^\alpha$, ça donne $2\alpha (2s)^{\alpha -1}$ ?

Calli

Qu'est-ce qui te dérange @gebrane ? Tout va bien dans cette formule.

gebrane

J'ai "buggé" dans la dérivée de $\ln(2s)$.

Homo Topi

Si même les autres commencent à s'embrouiller sur les trucs de L1, on est pas sortis de l'auberge ! :-D

gebrane

Homo topi avec ce confinement tout arrive, un bon café bien chaud me manque. Le café maison est naze.