Des propositions équivalentes ?

Bonjour,

je travaille sur le théorème suivant :

Soit $n\in\mathbb{N}^{*}$. Alors les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) $n$ est premier ;
(ii) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ est un corps.
(iii) $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ est intègre.

Je montre que $(ii)\Rightarrow (iii)\Rightarrow (i)\Rightarrow (ii)$.
$(ii)\Rightarrow (iii)$
Tous les éléments non nuls d'un corps sont inversibles, donc ne sont pas des diviseurs de zéro. Par conséquent, tous les corps sont intègres.

$(iii)\Rightarrow (i)$
Je fais le cas où $n=1$ pour commencer. Dans ce cas, l'anneau est réduit à $\{\bar{0}\}$. Il n'est donc pas intègre, car les anneaux intègres ne sont pas réduits à zéro.
Je traite le cas où $n>1$ maintenant.
Par contraposition, je montre que si $n$ n'est pas premier, alors l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ n'est pas intègre.

En effet, si $n$ n'est pas premier, alors il est composé et je peux écrire $n=ab$ avec $1<a,b<n$.

Ce qui donne $\bar{n}=\bar{a}\bar{b}=\bar{0}$ avec $\bar{a}\neq \bar{0}$ et $\bar{b}\neq\bar{0}$.

Par conséquent, $\exists\bar{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\setminus\{\bar{0}\},\,\exists\bar{b}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\setminus\{\bar{0}\},\,\bar{a}\bar{b}=\bar{0}$.

L'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ possède des diviseurs de zéro, il n'est donc pas intègre.

$(i)\Rightarrow (ii)$
On va montrer que, dans ce cas, tous les éléments non nuls de l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ sont inversibles.

Si $n$ est premier alors $n\ge 2$.

Donc il existe un élément $k\in 1,n-1$ tel que $\bar{k}\neq\bar{0}$.

Puisque $n$ est premier, alors il est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas.

Ici, on a bien $n\not\mid k$ (car sinon $n\le k$, ce qui n'est pas).

Donc $pgcd(n,k)=1$ et donc $\bar{k}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.

Ce qui fait de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ un corps.

Mes questions :
1 - Que pensez-vous de ma démonstration ? Ai manqué de rigueur ?

2 - Si je remplace $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ par $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[X]$, il me semble que cette proposition reste vraie. Me trompe-je ?

Encore merci pour votre aide.

Réponses

  • Dans $(ii) \Rightarrow (iii)$ attention, tous les éléments non nuls d'un corps sont inversibles.

    Ta démonstration de $(i) \Rightarrow (ii)$ est erronée car tu as simplement montré que $\mathbb Z/n\mathbb Z$ admet un élément non nul qui est inversible, ce n'est pas la définition d'un corps.

    Si tu cherches à montrer que $\mathbb Z/n \mathbb Z[X]$ est un corps, tu vas passer un sale quart d'heure. :-D Par contre c'est effectivement un anneau intègre si et seulement si $n$ est premier, mais la démonstration est beaucoup plus simple : $A[X]$ est intègre si et seulement si $A$ l'est.
  • Edit : J'ai écrit n'importe qui. On dirait que je ne sais pas lire.
  • - Pour le point $(ii)\Rightarrow (iii)$, j'ai rectifié en rajoutant que ce sont des éléments non nuls qui sont inversibles.

    - Pour le point $(iii)\Rightarrow (i)$, j'ai modifié le cas où $n=1$. Dans ce cas là, l'anneau est réduit à $\{\bar{0}\}$, ce qui est proscrit dans la définition d'un anneau intègre.

    - Enfin, pour le dernier point $(i)\Rightarrow (ii)$, je reprends :

    On va montrer que, dans ce cas, tous les éléments non nuls de l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ sont inversibles.

    Pour commencer, comme $n$ est premier, alors $n\ge 2$. Donc il existe bien dans cet anneau un ou plusieurs éléments non nuls (selon la valeur de $n$).

    Soit $\bar{u}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, l'un d'eux. Alors $\bar{u}\neq\bar{0}$. Montrons qu'il est inversible.

    On a $\bar{0}=\bar{n}\neq\bar{u}$ et donc $u-n\not\in n\mathbb{Z}$ [car $\bar{a}=\bar{b}\iff a\mathcal{R}_{\mathbb{Z}}b\iff b-a\in n\mathbb{Z}$]

    Ce qui signifie que $n\not\mid u$.

    Or $n$ est premier, donc il est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas.

    Donc $pgcd(n,u)=1$ et donc $\bar{u}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.

    $\bar{u}$ est donc bien inversible dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$, ce qui en fait un corps.

    Est-ce mieux ?
  • Poirot a écrit:
    Si tu cherches à montrer que $\mathbb Z/n \mathbb Z[X]$ est un corps, tu vas passer un sale quart d'heure. :-D

    On va éviter alors !
    Poirot a écrit:
    Par contre c'est effectivement un anneau intègre si et seulement si $n$ est premier, mais la démonstration est beaucoup plus simple : $A[X]$ est intègre si et seulement si $A$ l'est.

    Donc je peux affirmer, avec la proposition de mon message initial, que :
    $n$ est premier $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est intègre $\iff (\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.

    Est-ce que je peux écrire de même que :
    $n$ est premier $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est un corps $\iff (\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est un corps ?
  • Non, $A[X]$ n'est jamais un corps, quel que soit l'anneau $A$. Tiens-en toi à ce que tu as montré, et à ce que je t'ai dit. Si vraiment ça t'amuse on a $n$ est premier $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est intègre $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est un corps $\iff (\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.
  • Donc il est faux de dire que :
    $n$ est premier
    $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est un corps
    $\iff (\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.

    ?
    C'est ce que je lis sur un livre. Raison pour laquelle je voulais absolument retrouver le fait que $(\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est un corps. Il y doit y avoir une coquille.

    PS : que pensez-vous de la rectification dans mon message du $(i)\Rightarrow (ii)$ ?
  • Poirot a écrit:
    $A[X]$ est intègre si et seulement si $A$ l'est.

    Je ne connaissais pas la démonstration de ce résultat. Je vais essayer de la faire, en notant $(A,+,\times)$ l'anneau commutatif en question.
  • Oui c'est faux je te l'ai déjà dit deux fois.

    Ta correction est correcte mais inutilement compliquée, pourquoi dire que $u - n \not \in n \mathbb Z$ quand tu pouvais tout aussi rapidement dire que $u \not \in n \mathbb Z$ ? C'est la définition de $\overline u \neq \overline 0$ dans $\mathbb Z/n \mathbb Z$.

    Aussi ton laius sur le fait qu'il existe des éléments non nuls est (partiellement) inutile. Si tu veux montrer une propriété universelle (c'est-à-dire de la forme "quel que soit...") tu n'as pas à justifier que ton ensemble est non vide. Par contre ici, "être un corps" c'est un peu plus que la propriété universelle "quel que soit l'élément non nul, il est inversible" puisqu'il faut aussi préciser que l'anneau est unitaire, ou ce qui revient au même (couplé avec la propriété universelle précédente) qu'il n'est pas réduit à $0$.
  • Merci.
    Je vais rectifier de nouveau.

    Soit $\bar{u}$ un élément non nul de l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$.

    Comme $\bar{u}\neq\bar{0}$, alors $u\not\in n\mathbb{Z}$ et donc $n\not\mid u$.

    Or $n$ est premier, donc il est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas.

    Donc $pgcd(n,u)=1$ et donc $\bar{u}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.

    $\bar{u}$ est donc bien inversible dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$, ce qui en fait un corps.
  • C'est tout bon (tu)
  • Merci !

    Je poursuis avec cette proposition :

    Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif unitaire.

    Je veux prouver que $A[X]$ est intègre $\iff$ $A$ intègre.

    $\Rightarrow$

    Je suppose que $A[X]$ est intègre.

    On a un morphisme d'anneaux $\begin{array}{ccccc}
    f & : & A & \to & A[X] \\
    & & a & \mapsto & \sum_{k\in\mathbb{N}}a_kX^k \\
    \end{array}$ où $a_k=a$ lorsque $k=0$ et $a_k=0$ lorsque $k>0$.

    Pour prouver que $A$ est intègre, je montre qu'il n'a pas de diviseurs de zéro.

    S'il en avait, alors il existerait $a\in A\setminus\{0\}$ et $b\in A\setminus\{0\}$ tel que $ab=0$.

    Et on aurait alors $f(ab)=f(0)$, soit $f(a)f(b)=0$.

    Comme $a\in A\setminus\{0\}$, alors $f(a)\neq 0$. De même, $f(b)\neq 0$.

    L'égalité $f(a)f(b)=0$ avec $f(a)\neq 0$ et $f(b)\neq 0$ signifie qu'il y a dans $A[X]$ des diviseurs de zéro. Or il est intègre. Contradiction.

    Donc $A$ est intègre.

    $\Leftarrow$

    Ici, je suppose que $A$ est intègre et je montre que $A[X]$ l'est aussi. Pour cela, je montre que cet anneau n'a pas de diviseurs de zéro.

    Soit donc $P\in A[X]\setminus\{0\}\,\,et\,\,Q\in A[X]\setminus\{0\}$. Prouvons qu'alors $PQ\neq 0$

    J'écris $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $Q=\sum_{k=0}^mb_kX^k$.

    Puisque $P$ est non nul, alors son terme dominant $a_n$ n'est pas nul. De même, $b_m$ n'est pas nul.

    J'écris ensuite $PQ=\sum_{k=0}^{n+m}c_kX^k$ avec $c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j$.

    Ce qui s'écrit aussi $PQ=c_{n+m}X^{n+m}+\sum_{k=0}^{(n+m)-1}c_kX^k=a_nb_mX^{n+m}+\sum_{k=0}^{(n+m)-1}c_kX^k$.

    Puisque l'anneau $A$ est supposé intègre, on peut affirmer que $a_n,b_m\neq 0\Rightarrow a_nb_m\neq 0$.

    Par conséquent, $PQ$ a son terme dominant qui n'est pas nul.

    Ceci prouve que $PQ\neq 0$ et, finalement, que $A[X]$ est intègre.

    Qu'en pensez-vous ?
  • C'est correct.
  • Merci beaucoup :)
  • Bonjour Poirot,
    pour reprendre ce message :
    Poirot a écrit:
    Si vraiment ça t'amuse on a $n$ est premier $\iff(\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)$ est intègre $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est un corps $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.

    J'ai bien compris les équivalences 1 et 2. J'en ai fait la démonstration.
    Pour la dernière, j'ai un doute.

    Pourquoi

    $(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est un corps $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.

    ?

    Je me demande si on utilise un résultat non évoqué dans ce fil de discussion.

    Ou bien est-ce qu'on utilise uniquement le résultat démontré hier, à savoir :

    $(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est intègre $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.

    ?
  • Bien sûr qu'on utilise ce dernier résultat, je ne suis pas tordu au point de t'affirmer des équivalences sans donner de justifications ! J'ai l'impression que tu es encore mal à l'aise avec les équivalences, pourtant on a tout fait dans ce fil.
  • Oui, j'ai encore du mal. La logique est quelque chose que je maîtrise mal, j'ai besoin de travailler ce point là
  • Je récapitule : dans ton premier message tu as montré que $n$ est premier $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est intègre $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est un corps.

    De plus, tu as montré que $(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est intègre $\iff (\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.

    Donc on a bien $n$ est premier $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est intègre $\iff(\mathbb Z/n \mathbb Z,+,\times)$ est un corps $\iff (\mathbb Z/n \mathbb Z[X],+,\times)$ est intègre.
  • (tu)
    Très clair !
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