Termes dans un produit de Cauchy

Bonjour,
dans un exercice, j'avais dans $K[X]$, où $K=\mathbb{R} $ ou $\mathbb{C}$ : $A=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $B=\sum_{k=0}^mb_kX^k$.

Et $C=\sum_{k=0}^{n+m}c_xX^k,$ avec $c_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j=\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}$.

Je cherche à comprendre pourquoi $c_{n+m}=a_nb_m$, je ne le vois pas.
Pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance !

Réponses

  • Aide-toi et le forum t'aidera. Écris tout à la main pour $n=2$ et $m=1$.
  • La même question que j'avais posée sur les produits de 2 polynômes.
  • Bonjour,

    ok ! Allons-y !
    Avec $n=2$ et $m=3$, je trouve :

    $A=\sum_{k=0}^2a_kX^k=a_0+a_1X+a_2X^2$
    $B=\sum_{k=0}^3b_kX^k=b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3$.

    Les différentes valeurs prises par $k$ sont : $1\,,2\,,\cdots\,,5$.

    Je calcule $c_{n+m}=c_5$ :

    $\begin{align}
    c_5&=\sum_{i=0}^5a_ib_{5-i}\\
    &=a_0b_5+a_1b_4+a_2b_3+a_3b_2+a_4b_1+a_5b_0\\
    \\
    &=a_0b_5+a_1b_4+a_2b_3\,\,\,\,\,\,car\,\,\,a_3=a_4=a_5=0\\
    \\
    &=a_2b_3\,\,\,\,\,\,car\,\,\,b_4=b_5=0\\
    \end{align}$


    On a donc bien $c_5=a_2b_3\iff c_{n+m}=a_nb_m$.

    Reste à faire le cas général.

    C'est là que j'ai du mal à formaliser. J'écris "lourdement" :
    $c_{n+m}=a_0b_{n+m}+a_1b_{n+m-1}+\cdots+a_{n-1}b_{m+1}+a_nb_{m}$ car $a_i=0$ dès que $i>n$

    Puis :
    $c_{n+m}=a_nb_{m}$ car $b_j=0$ dès que $j>m$.

    Je trouve ça un peu "bourrin" !
  • Ce n'est pas si bourrin que ça, et c'est la bonne approche, on voit clairement le résultat !
  • Petite nature ! Il faut abaisser ta sensibilité au bourrinage !

    En plus bref, dans la somme $c_{m+n}=\sum_{k=0}^{m+n}a_kb_{m+n-k}$, tous les termes d'indice $k\ne n$ sont nuls (si $k>n$, $a_k=0$ et si $k<n$, $m+n-k>m$ donc $b_{m+n-k}=0$).
  • Ah j'ai compris, merci !
    Math Coss a écrit:
    Il faut abaisser ta sensibilité au bourrinage !

    J'y travaille, mais ce n'est pas facile !
    Je suis un peu rouillé ^^
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