Somme de deux sous-groupes

Bonjour,

je travaille sur la notion suivante :
Si $(G,+)$ est un groupe abélien et que $H,K$ sont deux sous-groupes de celui-ci, alors $H+K:=\{h+k\mid h\in H\,,k\in K\}$ est un sous-groupe de $G$.

Si j'enlève le fait que $G$ soit abélien, cela devient faux en général.
Auriez-vous un exemple de groupe non commutatif qui l'illustre ?
Est-ce possible que malgré tout, la somme de deux sous-groupes reste un sous-groupe ?
Merci d'avance :)

Réponses

  • Soit $G=\mathfrak S_3$, le plus petit groupe non abélien. Soit $H= \{1, (12)\}$ et $K= \{1,(13)\}$. Alors $HK = \{1,(12),(13),(12)(13)\} = \{1,(12),(13), (132)\}$. Or $(13)(12) = (123)$ n'est pas dedans, donc ce n'est pas un sous-groupe.

    Et oui, c'est parfaitement possible que ça reste un sous-groupe : tu peux prendre $H=K$, et alors $HK = H$ est un sous-groupe.
  • Si on travaille dans un contexte non abélien, l'usage veut que l'on emploie la notation multiplicative.

    Dans ce cas un contre-exemple est facile à trouver : dans $\mathfrak S_3$, le groupe des permutations sur $\{1, 2, 3\}$, si on prend $H = \langle (1 2) \rangle $et $K = \langle (23) \rangle$ alors $HK = \{id, (12), (23), (123)\}$ n'est pas un sous-groupe de $\mathfrak S_3$ puisque $(123)^2 = (132) \not \in HK$.

    En général, $HK$ est un sous-groupe du groupe $G$ si et seulement si $H$ normalise $K$ ou $K$ normalise $H$, au sens où $hkh^{-1} \in K$ pour tout $h \in H, k \in K$, ou $khk^{-1} \in H$ pour tout $h \in H, k \in K$.
  • Bonjour,
    Si $G$ est non abélien, on parle plutôt de produit. Dans $G=\mathfrak S_3$, soient $H=\{{\rm id},(1\ \ 2)\}$ et $K=\{{\rm id},(1\ \ 3)\}$. Alors $HK=\{ {\rm id},(1\ \ 2),(1\ \ 3),(1\ \ 3 \ \ 2)\}$ qui n'est pas un sous-groupe de $\mathfrak S_3$.
    En revanche, si $H$ est distingué dans $G$, alors $HK$ est un sous-groupe.


    Edit : J'ai été doublement doublé.
  • Pour ne pas faire quadruplon avec les messages précédents :-D

    Si tu sais ce qu'est un module sur un anneau, les groupes abéliens sont tous des $\mathbb{Z}$-modules. La somme que tu regardes est en fait définie dans le cadre de la théorie des modules, et l'hypothèse d'être abélien apparaît là-dedans (un module = un groupe abélien avec une multiplication externe distributive)
  • Merci !
    J'ai saisi. [Je n'avais pas vu le message de Homo Topi, mais je ne connais pas les modules, à part celui des complexes !]

    Dans la preuve du fait que :
    (1) $H+K$ est un sous-groupe du groupe $(G,+)$ ;
    (2) $H+K=<H\cup K>$.

    Je bloque sur le point 2. Je procède par double inclusion.

    - Montrons que $<H\cup K>\subset H+K$.
    Pour cela, vu que $H+K$ est un groupe, je prouve que $H\cup K\subset H+K$, ce qui imposera $<H\cup K>\subset H+K$.

    Soit $x\in H\cup K$.
    Si $x\in H$ alors $x=x+0\in H+K$.
    Si $x\in K$ alors $x=0+x\in H+K$.
    Dans tous les cas, $H\cup K\subset H+K$ et donc $<H\cup K>\subset H+K$.

    - Montrons que $H+K \subset <H\cup K>$.
    C'est ici que je bloque, pouvez-vous m'aider ?

    PS : est-il possible de trouver un groupe $G$ non abélien dont $H.K$ est tout de même un sous-groupe de $G$, sans que $H=K$ ?
  • Tu n'as pas lu ma réponse ? J'ai donné une condition nécessaire et suffisante pour que $HK$ soit un sous-groupe de $G$. Par exemple dans $\mathfrak S_3$ toujours, tu peux prendre $H = \langle (12) \rangle$ et $K = \langle (123) \rangle$.

    Pour ton inclusion manquante, il faut montrer que tout sous-groupe de $G$ contenant $H \cup K$ contient $H+K$...
  • Désignant par $H$ et $K$ deux sous-groupes d'un groupe $G$, le produit $KH=\{kh|k \in K, h \in H \}$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $HK=KH$.
  • Ok !
    Il faut que je revois cette notion "H normalise K".
    Mais exprimé comme le fait Chaurien, je saisis.

    En revanche, sur la réciproque, je ne saisis pas :
    Poirot a écrit:
    Pour ton inclusion manquante, il faut montrer que tout sous-groupe de $G$ contenant $H \cup K$ contient $H+K$...

    Je sais que si une partie $A$ d'un sous-groupe $H$ du groupe $G$ est telle que $A\subset H$ alors $<A>\subset H$.

    Mais que dois-je prouver ici ?
    Si $L$ est un sous-groupe de $G$ tel que $H\cup K\subset L$ alors $H+K\subset L$.
    Pourquoi pourrai-je en conclure que $H+K\subset <H\cup K>$ ?

    Quelque chose m'échappe encore
  • Bien sûr, puisque tu peux prendre $L = \langle H \cup K \rangle$ !
  • Je vois.
    Soit donc $L$ un sous-groupe contenant $H\cup K$.

    Il faut alors montrer que $H+K\subset L$.

    Je considère donc $x\in H+K$, et j'essaye de montrer que $x\in L$.

    Je peux écrire $x=h+k$ avec $h\in H$ et $k\in K$.

    La première idée qui me vient c'est d'établir que $x\in H\cup K\subset L$, pour avoir $x\in L$.

    Est-ce que je suis sur la bonne voie si je suppose que $x\not\in H$ et que je montre qu'alors, forcément, $x\in K$ ?
  • Ton $x$ n'a aucune raison d'appartenir à $H \cup K$. Sers-toi plutôt du fait que $L$ est un sous-groupe de $G$ pour montrer que $x \in L$.
  • Dans le cas où le groupe n'est pas supposé abélien, mieux vaut adopter la notation multiplicative pour la loi, on l'a déjà dit.
  • En utilisant le fait que L, étant un sous-groupe de G, est stable par composition avec le symétrique ?

    Je n'y arrive pas
  • @Chaurien : on est dans le cas abélien ici.

    @BMaths : oui. $x=h+k$ avec $h \in H$ et $k \in K$. Or $H \cup K \subset L$ donc...
  • Oui, je reste dans le cas abélien et je cherche à prouver qu'alors $H+K=<H\cup K>$.

    Je crois que j'ai saisi.

    Soit $L$ un sous-groupe contenant $H\cup K$.

    J'ai déjà prouvé que $L\subset H+K$.

    Réciproquement, montrons que $H+K\subset L$.

    Je considère $x\in H+K$, et j'essaye de montrer que $x\in L$.

    Je peux écrire $x=h+k$ avec $h\in H$ et $k\in K$.

    Comme $h\in H$ alors $h\in H\cup K\subset L$, donc $h\in L$. De même, $k\in L$.

    Puisque $L$ est un sous-groupe du groupe $(G,+)$, alors $L$ est un groupe pour la loi induite par $G$.

    Donc $h\in L$ et $k\in L$ impose $x=h+k\in L$.
  • En fait, je devrais travailler directement avec $L=<H\cup K>$.

    Je cherche à prouver que $H+K=<H\cup K>$.

    Dans ce message, je prouve que $<H\cup K>\subset H+K$.

    Réciproquement, montrons que $H+K\subset <H\cup K>$.
    En suivant cette même idée, j'obtiens :

    Soit $x\in H+K$.
    Alors on peut écrire $x=h+k$ avec $h\in H$ et $k\in K$.

    Comme $h\in H$, alors $h\in H\cup K\subset <H\cup K>$. D'où $h\in <H\cup K>$.
    De même, $k\in <H\cup K>$.

    Or, $<H\cup K>$ est un sous-groupe de $(G,+)$ donc un groupe pour la loi induite, et donc stable par addition.

    D'où $x=h+k\in <H\cup K>$.

    Par conséquent $H+K\subset <H\cup K>$.

    Et finalement, l'égalité $H+K=<H\cup K>$.
  • Je vais être honnête, ton dernier message ne sert à rien vu que tu as prouvé plus général au-dessus, mais passons. C'est bon cette fois.
  • Merci !
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