géométrie

Pilz0

Bonjour à tous,

Comment peut-on définir le centre de gravité d' un convexe du plan, est-ce le point par lequel passe toutes les droites qui partagent cette figure en 2 parties de mesure ( de Lebesgue ) égales. Si oui coment montre-t-on que toutes ces droites sont concourantes.
Et que se passe-t-il en général si on choisit quelque chose de non convexe ( borné quand même).

Merci

Pitou

Si tu partie $K$ est quarrable (i.e. Riemann-mesurable) ou même Lebesgue-intégrable, et c'est le cas quand elle est convexe, je pense qu'il est préférable de définir $G$ comme l'unique point $P$ du plan vérifiant $\int_{M \in K} \overrightarrow{PM} \, d\sigma = \overrightarrow{0}$, où $\sigma$ est l'élément de surface (ou la mesure de Lebesgue sur $\R^2$). Pour montrer l'existence et l'unicité de $G$ on étudie l'application qui à $P$ associe l'ntégrale ci-dessus, on doit avoir besoin de la condition $\sigma(K)$. Et a posteriori il doit être facile de montrer que toute droite passant par $G$ vérifie ta propriété.

Pilz0

Merci Pitou, en effet cette définition parait logique, mais je ne vois pas trop comment être sur de l'existence de ce point...

Pitou

Je t'en prie, je suis vraiment fan de ce genre de trucs en géométrie. Si tu t'intéresses aux sections d'un convexe j'ai des infos pour toi, mais pas sous la main ; je t'écrirai ça ce soir.

Pour l'existence du point, en notant $f(P)$ l'intégrale, de regarder $f(P_1)-f(P_2)$ et utilise Chasles.

oc2

Sinon tu passes par un point A, l'équation implique

PA*µ=int (Am) et vois montrer l'unicité bah cette définition ne dépend pas du point A choisi (en fait c'est du barycentre tu recalques un peu les démo que tu as fais en 1ère S)

oc