Sous-groupes additifs de R

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour traiter un exercice portant sur les sous-groupes additifs de ${\R}$. Voici le début de l'exercice, je bloque à partir de la seconde question.
Soit $G$ un sous-groupe non trivial de ${\bf R}$ ; on pose $P := G\cap \R_+^*$ et $\omega = \inf(P)$.
1. Montrer que $P$ est non vide. Que peut-on en déduire concernant $\omega$ ?
2. On suppose $\omega >0$ ; montrer que $G = \omega {\bf Z}$.

1. Par hypothèse $G$ est un groupe non trivial donc on peut trouver un élément $x\in G$ avec $x\ne 0$. Or puisque $G$ est un groupe on en déduit que son opposé ${-x}$ appartient aussi à $G$. Donc quitte à prendre ${-x}$, on peut supposer sans perte de généralité que $x>0$. Ainsi $x\in P$ donc $P \ne \varnothing$. Enfin $P$ est clairement minoré par $0$ donc on en déduit qu'il admet une borne inférieure $\omega$ et que $\omega \geqslant 0$.

Je ne vois pas comment traiter la question 2.
Merci d'avance !

Réponses

  • Bonjour.

    Tu dois montrer que les éléments de G sont des multiples de $\omega$. Tu en prends un, disons g, et tu veux montrer qu'il est divisible par $\omega$. Multiple, divisible, ça doit te donner une idée; même si on ne parle pas d'entiers ...

    Cordialement.
  • Commence par montrer que $\omega \in G$, ensuite le reste tombe facilement.
  • Bonjour

    @Gerard0 : J'ai beau cherche, je vous où vous voulez en venir.

    @Poirot : Ok je suis d'accord puisque dès qu'on aura $\omega\in G$, on aura $n\omega \in G$ pour tout $n\in {\bf Z}$ puisque $G$ est un groupe. Cependant je ne vois pas comment montrer que $\omega \in G$.
  • Si $\omega $ n'était pas élément de $P$, regarde ce qui se passerait.
  • Il n'y a pas que ça à prouver. Si tu montres que $\omega \in G$ il faut encore montrer que tout élément de $G$ est de la forme $n\omega$ avec $n \in \mathbb Z$ !
  • Une chose à la fois Poirot, tu es trop fort.
  • Raisonnons par l'absurde : supposons que $\omega \notin G$.
    D'après la caractérisation de la borne inférieure

    $ \omega = \inf(P)$ si et seulement si pour tout $x\in P$, $x\ge \omega $ et pour tout $\epsilon >0$, on peut trouver (au moins) un élément $a \in P$ tel que l'on ait $\omega \le a < \omega + \epsilon$.

    En particulier :
    pour $\epsilon = \omega$, il existe $a\in P$ tel que $\omega \le a < \omega + \epsilon$,
    pour $\omega + \epsilon=a$, il existe $b\in P$ tel que $\omega \le b <a$.

    Donc j'en déduis qu'il existe $a,b\in P$ tels que $\omega \le b < a < 2 \omega$.
    En conséquence $a-b< \omega$, ce qui est absurde par définition de $\omega$.

    Ai-je bon ?
  • Précise $a-b \in P$. C'est ça.
    Et maintenant, fais ce que dit Poirot.
  • Heu ... $b-a<0< \omega$; pas de problème. Mais ce serait $a-b < \omega$ qui poserait problème.

    Cordialement.
  • Avec l'hypothèse absurde $\omega \notin G$, pour tout $\varepsilon >0$, il existe $a \in P$ et $b \in P$ tels que : $\omega <b<a< \omega + \varepsilon$, d'où : $0< a-b< \varepsilon$, et c'est là la contradiction. Pourquoi ?
  • @gerard0 : Oui, j'ai corrigé, merci.

    @Chaurien : Oui $b-a \in P$, c'est un oubli de ma part.En revanche, je n'ai pas compris le but de ton dernier message.

    Du coup, $G$ contient $\omega$. Ainsi puisque $G$ est un groupe, j'en déduit que ${ - \omega}\in G$ et pour tout $n\in {\bf N}$, $n\omega \in G$, donc j'en conclut que pour tout $n\in {\bf Z}$, $n\omega \in G$, d'où $G\supset \omega {\bf Z}$.

    Je regarde l'inclusion réciproque.
  • C'était pour te faire préciser pourquoi c'est absurde, comme tu dis. Mais passe à l'étape suivante.
  • Ok, merci pour cette précision, j'ai tellement d'écrire "on en déduit/conclut"...

    Passons à l'inclusion $G\subset \omega {\bf Z}$ : soit $x\in G$ ; comme $\omega >0$, je peux trouver un entier $k\in {\bf Z}$ tel que $k\omega \le x < (k+1) \omega$ (un peu comme une "sorte" de partie entière). Ce faisant, j'obtiens que $0\le x- k\omega < \omega$. Or $x- k\omega \in G$ car $G$ est un groupe et $\omega $ étant par définition le plus petit élément strictement positif de $G$, j'arrive à la conclusion que $x= k\omega$, donc que $x\in \omega {\bf Z}$.

    Je passe à la troisième question.
    3. On suppose que $\omega = 0$. Montrer que $G$ est dense dans ${\bf R} $, c'est-à-dire que pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a<b$, on peut toujours trouver (au moins) un élément $x\in G$ tel que $a<x<b$.

    Ce que j'ai tenté : soit $x\in G$ ; je commence par dire que, quitte à ajouter un certain multiple de $x$ à $x$, je peux supposer que $x \in P $. Ensuite par caractérisation de la borne inférieure de $P$, quel que soit $\epsilon >0$, il existe $y \in P $ tel que l'on ait $0\le y < \epsilon$. En particulier en prenant $\epsilon = b-a$, j'obtiens que $0\le y < b-a$. Mais je ne vois pas comment relier ce $y$ avec mon $x$...

    Merci encore ;)
  • Très bien. Dès que tu as un élément de $G$ aussi proche de $0$ que tu veux, regarde tous ses $\mathbb Z$-multiples. J'appelle ça le théorème de la grenouille. Si la grenouille fait des sauts de longueur $< \varepsilon $ et si elle arrive devant une rivière de largeur $ \ge \varepsilon $, plouf ! elle tombera dedans.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • Bonjour.

    tu es parti à l'envers ! Ce sont a et b qui sont donnés, et tu dois trouver un $x \in G$ entre a et b. Comme tu as des $x>0$ aussi près de 0 que tu veux, et que les $kx$ sont encore dans $G$, tu arriveras bien à en caser un (voire plusieurs) entre a et b.

    Cordialement.

    Edit : Ah ! une minute de retard ;-)
  • Les grands esprits se rencontrent...
    Quand j'étais petit, la blague c'était de compléter : ... comme les ânes à la barrière ;-).
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Du coup, je n'ai pas compris si mon raisonnement est bon ou pas, ni comment le terminer.
  • Heu ... ton raisonnement n'aboutissait pas et il ne traite pas le problème posé. Que peut vouloir dire "est bon" ? Et quant à le terminer, ça n'a pas de sens, il ne va nulle part.

    Relis vraiment la question et les conseils. Réponds vraiment à la question.

    Cordialement.
  • Bon, tu sais que pour tout $\varepsilon >0$ il y a un élément de $G$ dans $]0,\varepsilon[$. Si tu as deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$, est-ce vraiment si difficile de démontrer que $[a,b]$, ou $]a,b[$, comme tu préfères, contient un élément de $G$ ? Pense à ma grenouille.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • Chaurien
    Modifié (2 May)
    Apparemment un_kiwi renonce, mais je ne voudrais pas laisser ce fil sans rappeler la conclusion sur ce sujet.Il y a exactement quatre types de sous-groupes additifs de $\mathbb R$ :
    I. Sous-groupe $\{0\}$.
    II. Sous-groupe $\mathbb R$.
    III. Sous-groupes $\mathbb Z a, a>0$.
    IV. Sous-groupes denses dans $\mathbb R$ et d'intérieur vide, autrement dit : denses dans $\mathbb R$ et de complémentaire dense dans $\mathbb R$.
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • bonjour, non je n'ai pas renoncé merci... Je cherchais en parallèle un autre exercice (sur les développements suivant une base).

    Je n'ai pas le sentiment d'avoir trop avancé malheureusement, j'ai l'impression de tourner en rond ou de redire ce que j'ai dit... Voici ce que je propose :

    Soient $a,b$ deux réels tels que $a<b$. $ \inf( P)=0$ donc quel que soit $\epsilon >0$, on peut trouver $x\in G$ tel que l'on ait $0<x<\epsilon$. En particulier en prenant $\epsilon =b-a$, j'ai un $x\in P$ tel que $0<x<b-a$. Mais $G\supset x{\bf Z}$ donc j'ai l'impression que forcément on peut trouver un entier $k$ tel que $kx \in {]}a,b{[}$, mais je n'arrive pas à exhiber un tel $k$...
  • Bonjour.

    Si x= 0,31, a=25 et b=26, comment trouver k tel que $kx\in ]a,b[$ ?
    Généralisation.

    Cordialement.

    NB : je suis à peu près persuadé que tu n'as même pas fait un dessin !!
  • @ un_kiwi revenant.
    Si je ne me trompe, nous avons prouvé que pour tout $\varepsilon > 0$ il existe un réel $x \in G$ tel que $0 <x< \varepsilon$.
    Maintenant, tu considères des réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$.
    Tu ne devrais pas avoir de mal à prouver qu'il existe $ k \in \mathbb N^*$ tel que $kx \in [a,b]$.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • Allez, si ça peut t'aider, je te joins un dessin avec les sauts de ma grenouille, que malheureusement je ne sais pas dessiner.98972
  • @gerard0 : si j'ai fait un dessin semblable à celui de Chaurien. Je crois que mon problème se situe dans l'exemple que tu m'as donné. Si $x= 0,31$, $a=25$ et $b=26$ alors pour trouver $k$ tel que $kx\in {]} a,b {[}$, je prends par exemple il faut que $k \ge E(a/x) +1$ et $k \le E(b/x)-1$, mais un tel entier $k$ existe-t-il toujours ?

    @Chaurien : Dans ton avant-dernier message tu dis que l'on a prouvé que pour tout $\epsilon >0$ il existe un réel $x\in G$ tel que $0<x<\epsilon $. Puis tu ne prends pas de $\epsilon $ particulier ?. Ensuite tu dis considérer deux réels $a$ et $b$ tels que $0<a<b$, pourquoi les considérer strictement positifs ?

    Cordialement.
  • Si tu le fais déjà pour $0<a<b$, tu ne seras pas loin de l'avoir fait pour tous $a<b$.
  • Un-kiwi :
    "mais un tel entier k existe-t-il toujours ? "

    Ben ... depuis le temps que tu poses des questions pour qu'on te donne un corrigé, tu aurais pu chercher toi-même et décider. C'est ton exercice, tu ne fais pas beaucoup d'efforts intellectuels pour avancer.

    La réponse est oui et si tu avais cherché toi-même tu l'aurais déjà trouvé.
  • @gerard0 : J'essaie tout simplement de comprendre les choses :-). Mon but n'est pas "d'avoir un corrigé" comme tu dis... Je conçois tout à fait que (certaines de) mes questions peuvent paraître "stupides", mais après tout ne suis-je pas là pour en poser ? Je voudrais également souligner le fait que là où tu peux voir un exercice "simple" et/ou "classique" (que tu as peut-être dû traité plusieurs fois), pour ma part je le découvre. Si cela est normal de se faire "critiquer" pour cela, je ne vois pas quoi ajouter.

    Sinon pour en revenir à l'exercice, c'est bon pour la question de densité je pense avoir réussi à aboutir.

    Je prends $a<b$.
    $\omega = 0$ donc je peux trouver un élément $y\in P$ tel que $0<y < b-a$.
    Soit $k= E(a/y)+1$. Alors par définition de la partie entière j'ai $(k-1)y \le a < ky$ donc

    $a < ky = (k-1)y+y <a+y < b$

    et puisque $ky\in G$, j'en déduis bien l'existence d'un élément $x\in G$ tel que $a<x<b$.

    Merci encore pour l'aide apportée ;)
  • @ un_kiwi
    Bravo !
    Tu as juste à corriger « ... tu as peut-être dû traiter plusieurs fois... ».
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • Récapitulons.

    Soit $G$ un sous-groupe additif de $\mathbb R$, et soit $P= \mathbb R_+^* \cap G$.
    Si $G \neq \{ 0\}$ alors $P \neq \varnothing $, et soit $ \omega = \inf P$, d'où $\omega \ge 0$.
    Si $\omega >0$ alors $G= \mathbb Z \omega$, et si $\omega =0$ alors $G$ est dense dans $ \mathbb R$.

    Pour l'exercice de un_kiwi c'est terminé.

    Mais on peut en dire un peu plus. On peut prouver que si un sous-groupe additif de $\mathbb R$ est d'intérieur non vide, autrement dit s'il contient un intervalle non trivial $[a,b]$, $a<b$, alors c'est $\mathbb R$ tout entier. Ce n'est pas très difficile, et ceci démontrera qu'un sous-groupe additif de $\mathbb R$ autre que $\mathbb R$ est forcément d'intérieur vide, c'est-à-dire ne contient aucun intervalle non trivial, ou encore que son complémentaire est dense dans $\mathbb R$.

    Pour les sous-groupes $\{ 0\}$ ou $\mathbb Z \omega, \omega>0$, ce n'est pas une grande découverte, mais c'est important pour les sous-groupes denses dans $\mathbb R$.

    Et l'on obtiendra la classification des sous-groupes additifs de $\mathbb R$ en quatre types bien distincts, que je rappelle encore.
    Il y a exactement quatre types de sous-groupes additifs de $\mathbb R$ :
    I. Sous-groupe $\{0\}$.
    II. Sous-groupe $\mathbb R$.
    III. Sous-groupes $\mathbb Z \omega, \omega>0$.
    IV. Sous-groupes denses dans $\mathbb R$ et d'intérieur vide, autrement dit : denses dans $\mathbb R$ et de complémentaire dense dans $\mathbb R$.
    Bonne journée, encore et encore froide, morbleu !
    Fr. Ch.
  • Ouf ! ok c'est bon. Je ne suis pas très à l'aise avec la notion de densité... Merci pour la synthèse Chaurien ;)

    D'ailleurs sachant que $\inf( {\bf Q} ) = 0$, on retrouve le fait que ${\bf Q}$ est dense dans ${\bf R}$ !

    Après c'est pareil, au risque de me faire "lyncher", je n'ai jamais compris comment on démontre que $ {\bf Q} $ est dense dans $ {\bf R} $...
  • Tu veux dire : $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$ ?
  • Oui biensûr, maudit copié-collé :)
  • Maintenant tu sais pourquoi $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$. Dans tout intervalle $]0, \varepsilon [$, $\varepsilon \in \mathbb R_+^*$, il y a un rationnel $\frac 1n$, $n \in \mathbb N^*$, de par l'ordre archimédien dans $\mathbb R$. Et tu reproduis ta dernière démonstration, que tu as trouvée pour $G$, telle quelle.
    Essaie de démontrer la dernière propriété que j'évoque dans mon précédent message, et que l'on passe souvent sous silence.
  • Ok.

    ${\R}$ est archimédien donc pour tout $\varepsilon >0$, on peut trouver (au moins) un entier $n\ge 1 $ tel que $n\varepsilon >1$. En d'autres termes, j'ai réécrit ce que tu as commencé à faire ;-)

    Soient $a,b$ deux réels tels que $a<b$. Prenons $\varepsilon = b-a$ ; alors il existe $n\in {\N}^* $ tel que $0<1/n< b-a$.

    On cherche donc un entier $k$ tel que $k /n \in {]}a,b{[}$. Pour cela, on prend $k=E(na)+1$. Par définition $E(na)=k-1$ équivaut à $(k-1)/n \le a < k/n$ donc $$

    a< k/n = \underbrace{(k-1)/n}_{ \le a} +1/n \le a+ 1/n < b.

    $$ On a donc trouvé un rationnel $r= [ E(na)+1 ] / n$ tel que $a<r<b$, où $n\in {\N}^*$ est tel que $n>1/(b-a)$.
  • Un_kiwi a écrit:
    @gerard0 : J'essaie tout simplement de comprendre les choses :-). Mon but n'est pas "d'avoir un corrigé" comme tu dis... Je conçois tout à fait que (certaines de) mes questions peuvent paraître "stupides", mais après tout ne suis-je pas là pour en poser ?
    Non, là je crois que tu te trompes, tu t'illusionnes, tu déshonore ton intelligence / Un forum est fait pour répondre aux questions sur lesquelles le questionneur a vraiment réfléchi et buté. Quand je suis intervenu, tu avais tout ce qu'il te faut pour répondre à ta question "En existe-t-il un ?" Puisqu'il te suffisait de regarder où se trouvent les entiers dont ntu parlais. Autrement dit, tu te contentais d'attendre au lieu de regarder toi-même.
    Je voudrais également souligner le fait que là où tu peux voir un exercice "simple" et/ou "classique" (que tu as peut-être dû traité plusieurs fois), pour ma part je le découvre
    Je suis d'une génération où faire cet exercice était basique en L1, les techniques étant connues depuis la seconde sauf la partie entière, que je n'ai vue qu'en terminale (bien que pressentie avant). Certains le faisaient sans doute (*) en terminale, puisque la notion de groupe était au programme de terminale à mon époque.

    Cordialement.

    (*) dans les "grands lycées" de centre des grandes villes.
  • kiwi a écrit:
    Du coup, je n'ai pas compris si mon raisonnement est bon ou pas

    Tout raisonnement formel est bon. Tu veux dire que tu n'as pas compris si tu as utilisé des choses douteuses ou non. Et bien sache que tu en as utilisées. Sinon, tu dirais "je suis sûr d'avoir gagné". Si tu doutes, c'est que c'est douteux.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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