Équation de Fokker-Planck

Bonjour à tous
J'ai le résultat suivant, admis dans mon cours, et j'aimerais comprendre 2 ou 3 trucs ainsi qu'avoir une idée de la démonstration.

J'ai $\sigma$ et $b$ des fonctions mesurables et bornées, dépendantes uniquement de ma variable d'espace $x$ en 1 dimension.
Soit $X$ la solution de l'EDS $E(\sigma,b)$, et $f_t$ la loi de $X_t$.
Le théorème affirme que, $\forall \varphi \in \mathcal{C}^2_c(\mathbb{R})$, on a $$

\int\varphi(x) f_t(dx) = \int \varphi(x)f_0(dx) + \int_0^t \int \mathcal{L}\varphi(x)f_s(dx)ds,

$$ avec $\mathcal{L} f(x) = \dfrac{1}{2} \sigma^2 \partial^2_{x^2}f(x)+b(x)\partial_xf(x).$

Comment démontre-t-on ce résultat ?
Et le cours ajoute que on dit que $f_t$ est solution faible de l'équation $$
\partial_tf_t=\mathcal{L}^*f_t,
$$ avec $\mathcal{L}^*f(x)=\dfrac{1}{2} \partial^2_{x^2}(\sigma^2f)(x)-\partial_{x}(bf)(x).$

Et je ne suis pas sûr de comprendre le sens de cette deuxième formulation, ni pourquoi elle est vrai du coup.
Merci :)

Réponses

  • Pour la première identité, tu peux appliquer Itô à $\varphi(X_t)$ puis passer à l'espérance car la partie martingale locale est réellement une martingale grâce aux hypothèses de bornitude. Une interversion espérance intégrale donne alors le résultat.

    Pour la seconde, elle est vraie "avec les mains" en utilisant le fait que $\int L_t f(x) g(x) \,\mathrm{d}x = \int f(x) L_t^{*} g(x)\, \mathrm{d}x$ et réellement vraie si $f_t$ admet une densité assez régulière.
  • Ok donc si $f$ est $C^2$, je pense que je comprends et j'arrive à voir d'où tout vient, merci :)
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