De la définition d'un corps
Bonjour,
voici la définition d'un corps que l'on m'a donnée.
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ;
(2) l'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
Et ensuite je lis l'énoncé du théorème de Wedderburn qui affirme que les corps finis sont commutatifs.
Est-ce que je comprends bien la définition du corps en affirmant qu'elle inclut le fait que l'anneau $(K,+,\times)$ est commutatif mais pas forcément le corps $K$ ?
Est-ce que je comprends bien l'énoncé du théorème de Wedderburn en affirmant qu'il existe des corps non commutatif ?
Pouvez-vous éclairer ma lanterne ?
D'avance merci
voici la définition d'un corps que l'on m'a donnée.
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ;
(2) l'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
Et ensuite je lis l'énoncé du théorème de Wedderburn qui affirme que les corps finis sont commutatifs.
Est-ce que je comprends bien la définition du corps en affirmant qu'elle inclut le fait que l'anneau $(K,+,\times)$ est commutatif mais pas forcément le corps $K$ ?
Est-ce que je comprends bien l'énoncé du théorème de Wedderburn en affirmant qu'il existe des corps non commutatif ?
Pouvez-vous éclairer ma lanterne ?
D'avance merci
Réponses
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Parfois certains remplacent abusivement "algèbre à division" par "corps".
PS:
Parfois pour désigner des "corps" qui ne sont pas commutatifs, on parle de "corps gauche".
PS2:
L'article de Wikipedia indique qu'il y a une ambiguïté sur le fait que la multiplication doit être ou ne pas être commutative
( https://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_(mathématiques) )Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
Alors la "bonne" définition d'un corps est la suivante.
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau unitaire ;
(2) l'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
? -
Bonjour,
Il y a deux définitions coexistantes de corps : celle où la multiplication est commutative (corps commutatif) et celle où elle ne l'est pas (corps "gauche" ou "anneau à divisions"*). Je crois qu'aujourd'hui "corps" sous-entend le plus souvent la commutativité, mais ça n'est pas universel.
C'est un peu le même problème avec les anneaux qui sont parfois sous-entendus unitaires et parfois non. Et il y a aussi le même genre d'ennui pour les algèbres qui sont associatives de temps à autre...
*Je ne suis plus sûr si ces terminologies imposent la non commutativité, ou laissent le choix. -
La multiplication d'un corps, selon ta définition (qui est la définition classique), est bien commutative. C'est la définition de Steinitz, qui a fondé la théorie axiomatique des corps.
L'énoncé "les corps finis sont commutatifs" est alors absurde.
Je cite un très vieux commentaire sur l'oral de l'agrégation.L'utilisation d'une terminologie adaptée devrait être l'un des soucis des candidats. La leçon "Corps finis, exemples, applications" peut illustrer ce propos. Il n'est pas rare qu'après un paragraphe entier consacré aux corps finis, et notamment à leur description complète, apparaisse le théorème de Wedderburn, énoncé sous la forme suivante: "tout corps fini est commutatif'. Cela suggère que les corps considérés au préalable n'étaient pas supposés commutatifs ; or, il est bien nécessaire qu'ils le soient si l'on veut leur appliquer les théorèmes relatifs aux polynômes à une indéterminée, essentiels pour l'étude des corps (commutatifs) finis.
Cette incongruité pourrait être évitée si l'on décidait qu'un corps est nécessairement commutatif, et si l'on désignait par "anneau à division" ou encore "algèbre à division" une structure d'anneau, où tous les éléments non nuls sont inversibles ("algèbre" renvoyant alors à la structure d'algèbre sur le centre). Le théorème de Wedderburn pourrait ainsi s'énoncer: " tout anneau à division, fini, est commutatif ce qui est tout de même plus parlant que l'énoncé suivant: "tout corps non commutatif fini est commutatif." -
La confusion vient probablement du fait que pour les anglais, le mot "field", désigne un corps commutatif.
Comme pour pas mal de choses, il me semble que la définition la plus répandue en France est celle de Bourbaki, où un corps est un anneau dont tout élément non nul est inversible (Algèbre, chapitre 1, paragraphe 9).
J'ai le souvenir que la définition de corps que j'ai eu dans mes différent cours d'algèbre ne demandait pas de commutativité, mais qu'assez vite une remarque du style "Nous supposerons à présent que tous les corps que nous considérons sont commutatifs" apparaissait. -
Au programme de prépa, les corps sont commutatifs. C'est loin d'être la Bible le programme de prépa, mais comme c'est là que j'ai appris ce qu'est un corps, de même que pas mal d'étudiants, je le cite.
-
Merci beaucoup.
Le passage qui retient mon attention est le suivant :Cela suggère que les corps considérés au préalable n'étaient pas supposés commutatifs ; or, il est bien nécessaire qu'ils le soient si l'on veut leur appliquer les théorèmes relatifs aux polynômes à une indéterminée, essentiels pour l'étude des corps (commutatifs) finis.
De quel théorème parle t-on ici ? -
Bonjour,
Il se trouve qu'est paru en 1972, aux PUF, un livre d'André Blanchard, dont le titre est "les corps non commutatifs". J'ai ce livre.
Cordialement,
Rescassol -
Si je saisis bien, on peut partir sur les définitions suivantes :
Un anneau unitaire / Un anneau commutatif unitaire:
Le triplet $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire lorsque l'ensemble $A$ est muni de deux lois de compositions internes tels que :
(1) $(A,+)$ soit un groupe abélien de neutre $0_A$ ;
(2) $\times$ soit associative de neutre $1_A$
(3) $\times$ soit distributive sur $+$
Si de plus la loi $\times$ est commutative, on dira que l'anneau $A$ est commutatif unitaire.
Un anneau à division :
Le triplet $(A,+,\times)$ est un anneau à division lorsque :
(1) $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire ;
(2) Tous les éléments de $A$, sauf le nul, sont inversibles.
Un corps :
Le triplet $(K,+,\times)$ est un corps lorsque :
(1) $(K,+,\times)$ est un anneau commutatif unitaire ;
(2) L'ensemble $K$ n'est pas réduit à $0$ : $K\neq\{0_K\}$ ;
(3) Tous les éléments de $K$, sauf le nul, sont inversibles.
Et alors, on peut énoncer le théorème de Wedderburn comme suit : "Tout anneau à division, fini, est commutatif". -
Corps gauche est presque acceptable du coup.
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il me semble que la définition la plus répandue en France est celle de Bourbaki, où un corps est un anneau dont tout élément non nul est inversible
Et moi, il me semble que c'est passé de mode. La bizarrerie introduite par Bourbaki, à rebours de la tradition algébrique, d'appeler "corps" une algèbre à division (ou corps gauche) ne me paraît plus très en vogue.
BMaths, à propos des ennuis qu'on rencontre avec les polynômes, tu pourras réfléchir au nombre de racines du polynôme $X^2+1$ dans l'algèbre à division des quaternions. -
Est-ce qu'on les rencontre souvent, les corps non commutatifs, en mathématiques ? Pour autant que je sache, non... il y a l'exemple classique des quaternions, mais sinon je ne connais aucun exemple concret (bon, sauf les extensions des quaternions, quoi). Sur Wikipédia, ils bidouillent un truc avec des séries de Laurent juste pour dire qu'il y a d'autres exemples "dans l'absolu" mais je pense que les corps non commutatifs, grossièrement, on peut se permettre de les ignorer et de sous-entendre que "corps" veut dire "corps commutatif".
Sinon, posons la question comme ça : quels résultats basiques/fondamentaux/importants sont FAUX si on ne suppose pas dans les hypothèses que le corps DOIT être commutatif ? -
Homo Topi:
Il y a toute une théorie très intéressante sur les corps gauche.
Je te recommande la lecture du livre Les corps non commutatifs de André Blanchard PUF, 1972.
C'est dans ce bouquin que j'ai lu pour la première fois la dénomination corps gauche.
(j'avais déjà entendu parler d'anneau à division. Cette dénomination apparait dans un rapport de jury d'agrégation qui critique les exposés de candidats sur le théorème de Wedderburn)Le passé est sinistre, le présent terne, mais heureusement nous n'avons pas d'avenir. -
L'ensemble des endomorphismes de représentation de groupe d'une représentation irréductible est un anneau à division (lemme de Schur). Ça donne peut-être des exemples concrets d'anneaux à division autres que les quaternions (mais je n'en connais pas explicitement). Par exemple, si on prend une représentation irréductible d'un groupe dont le centre est non trivial et dont le centre agit non trivialement, on devrait obtenir une algèbre à division non nulle.
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@Chat-maths. Pourtant les anglais parlent de "skew fields" (et aussi de "division algebras").
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J'ai travaillé pendant une année académique entière
$(\sim 1974)$ le sujet des corps non commutatifs. -
Ici, une discussion où la question de la commutativité des corps avait été débattue en long, en large et en travers.
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Paul, je n'entendais bien sur pas que les anglais n'ont pas de mots pour désigner les corps commutatifs. Simplement que chez eux, si il y a le mot field tout seul, c'est un corps commutatif, alors qu'en France il y a justement cette incertitude apportée par Bourbaki.
Maintenant, si GaBuZoMeu me dit que c'est passé de mode que de reprendre la définition bourbakiste, je le crois volontiers.
Vis-a-vis de ce qui bloque ou ne bloque pas dans le cas non commutatif, il me semble que (je n'ai jamais travaillé avec ces choses, les personnes qui ont bossé sur le sujet pourraient me corriger), pour ce qui est de l'algèbre linéaire (EDIT: de base) sur les espaces vectoriels, les choses ne changent pas, puisqu'en fait dans tout ce qu'on fait sur les ev, on utilise essentiellement la structure de $k$-module a gauche, et le fait que tout élément de $k$ est inversible à gauche. Dans un corps gauche, ça devrait marcher pareil, une fois qu'on est fixés sur le fait de travailler dans la structure de $k$-module à gauche (ou a droite). (Edit: pour des trucs plus avancés d'algèbre linéaire, comme par exemple de la réduction d'endomorphisme ou on utilise des $K[X]$-module, et des théorèmes sur les modules sur les anneaux principaux, du coup, là, plein de choses doivent cesser de fonctionner).
Par contre, j'imagine que dès qu'on commence à vouloir toucher aux produits tensoriels, les choses se corsent: dans le monde non commutatif, le produit tensoriel est une opération entre un $A$-module à droite et un $A$-module a gauche (ou plus généralement, entre un $(C, A)$-bimodule et un $(A, D)$-bimodule et le résultat est alors un $(C, D)$-bimodule).
Du coup, sur un corps gauche, on doit probablement faire bien plus attention à quelle structure on met sur qui.
Pour les polynômes, les choses se corsent encore, comme GaBuZoMeu l'a montré, dans les quaternions, le polynôme $X^2 + 1$ a au moins trois racines ($i$, $j$ et $k$). Le problème, c'est la notion d'évaluation, i.e de substituer un quaternion à $X$. Dans $\mathbb{H}[X]$, $X$ commute avec tout le monde, mais il y a des quaternions qui ne commutent pas avec tout le monde, si on veut un morphisme d'évaluation en $x$ bien défini, il faut que $x$ commute lui-même avec tout le monde. Sinon, on tombe sur des bizarreries, du genre, le polynôme $iX - Xi = 0$, "évalué" en $j$, ne donne pas zéro.
On peut imaginer aussi les problèmes avec la division euclidienne: quand on applique l'algorithme de division pour former une division euclidienne, doit-on multiplier à droite? à gauche? -
@HT : Les algèbres à division sont très utilisées dans certains domaines des maths, ce n'est pas parce que tu n'en as pas beaucoup croisé que personne ne s'en sert ! On peut parler des algèbres de quaternions sur des corps autres que $\mathbb R$ par exemple. Il se passe plein de choses intéressantes sur les corps de nombres, et je sais que c'est lié à la classification des groupes Kleiniens et Fuchsiens (à un tel groupe on associe une algèbre de quaternions sur un corps de nombres, et celle-ci détermine le groupe à une certaine équivalence près).
Un résultat fondamental qui est faux sans la commutativité : un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines. Par exemple dans l'algèbre des quaternions usuels, il y a une infinité d'éléments dont le carré vaut $-1$. La perte de ce résultat fait très mal quand même !
Un petit article de vulgarisation de Xavier Caruso sur les polynômes tordus, qui deviennent nécessaires pour parler d'évaluation de polynômes dans un contexte non commutatif. -
Autre fait amusant en non commutatif. Si $D$ est un algèbre à division non commutative, alors, dès que $n\geqslant 2$, il existe une matrice inversible dans ${\rm M}(n,D)$ dont la transposée n'est pas inversible.
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dans les quaternions, le polynôme $X^2+1$ a au moins trois racines ($i$,$ j$ et $k$)
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Je ne suis jamais allé plus loin que la définition de quaternion, j'ai préféré ne pas me mouiller (:D. J'ai prévu d'un peu plus regarder ce sujet classique un de ces jours :-D.
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À tout le moins, tu aurais pu mettre les opposés.
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Pour rencontrer des "corps non commutatifs", il faut vraiment le vouloir. À part les quaternions (et encore, à part comme contre-exemple à l'agrégation, combien de mathématiciens français travaillent avec les quaternions?), les exemples ne sont vraiment pas naturels*. L'immense majorité des corps utilisés couramment par l'ensemble des mathématiciens sont commutatifs.
*EDIT: naturel était maladroit, je ne suis pas en train de dire qu'il n'y en a pas plein, que ça n'apparait que de manière artificielle, que ce n'est pas utile, etc. Je veux juste dire qu'une grande majorité des matheux et des étudiants en maths n'en rencontreront pas ou à peine et ne les utiliserons pas, c'est tout.
Dans un tel contexte, il me parait tout-à-fait raisonnable d'inclure la commutativité dans la définition, surtout que c'est en accord avec bien d'autres langues (anglais, mais pas seulement).
L'argument de Bourbaki ne tient pas à mon sens, les mathématiques sont une science vivante et internationale (ce qui est différent de dire qu'on doit plier le genou devant l'anglais, attention), la terminologie peut (et même doit) évoluer avec les usages. Attention à ne pas faire de Bourbaki un espèce de référence sacrée immuable qui serait de plus en plus en décalage avec la réalité du terrain. Je suis d'ailleurs persuadé que les membres de Bourbaki à l'époque n'avait pas du tout dans l'intention d'en faire une espèce de nomenclature officielle.
On a déjà eu ce débat de la terminologie "officielle" en mathématiques à propos de la marotte "fonction vs application", il n'y a pas, et il n'y aura jamais, de terminologie officielle figée en mathématiques, et c'est tant mieux. Les mathématiques requièrent trop d'imaginations pour cela. -
Quelques domaines d'application des algèbres à division.
-- Par transitivité, toutes les applications des quaternions réels.
-- Interprétation du groupe de Brauer $H^{2}({\rm Gal}(K/F),K^\times )$ comme les classes d'équivalence de $F$-algèbres centrales simples munies du produit tensoriel.
-- Classification des formes des groupes classiques sur un corps de base $F$ (classification des groupes algébriques sur $F$ qui deviennent isomorphes à un groupe classique $O(n)$, $Sp(n)$, $Gl(n)$, etc. , sur une clôture algébrique de $F$).
-- Formes automorphes : correspondance de Jacquet-Langlands.
-- Etudes des formes quadratiques sur ${\mathbb Q}_p$ et $\mathbb Q$.
-- Construction de sous-groupes discrets du groupe des automorphismes du demi-plan de Poincaré à quotients compacts. -
Héhéhé écrivait:
> combien de mathématiciens
> français travaillent avec les quaternions?), les
> exemples ne sont vraiment pas naturels. L'immense
> majorité des corps utilisés couramment par
> l'ensemble des mathématiciens sont commutatifs.
Je travaille avec depuis presque 30 ans et je ne suis pas le seul (en France et ailleurs) !! -
Ce qui ne fait pas de vous une majorité.
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@HéHéHé. L'argument est imparable. Je m'avoue vaincu.
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C'est un non-argument. On pourrait très bien enseigner la théorie du groupe de Brauer en M1 par exemple, et alors tout le monde trouverait ça naturel de connaître (au niveau agrégation par exemple) un tant soit peu de choses sur les algèbres à division, l'histoire a fait que l'on enseigne autre chose en algèbre à la place.
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Et moi, cela fait quelques années que je travaille beaucoup avec les quaternions duaux. ;-)
On rencontre de nouveau une erreur apparue lors de discussions précédentes. Ce n'est pas parce qu'on n'appelle pas "corps" les algèbres à division qu'on nie qu'elles existent ou qu'elles sont importantes, en mathématiques ou ailleurs. Bien au contraire. -
Poirot a écrit:Un résultat fondamental qui est faux sans la commutativité : un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.
Pour qu'un polynôme de degré $n$ à coefficients dans un corps $K$ ait au plus $n$ racines il est nécessaire d'inclure le fait que le corps $K$ soit commutatif dans la définition ? -
A-t-on un théorème du type : si dans un anneau à division le polynôme $X^2+1$ n’admet que deux racines, alors c’est un corps (donc commutatif) ?
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@Bmaths. Pour un corps (commutatif) $K$, on peut parler des racines d'un polynôme de $K[X]$ dans une $K$-algèbre à division $D$. Par exemple, on peut considérer le cas de $K=\R$ et $D={\mathbf H}$, les quaternions d'Hamilton.
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Je n'ai pas suivi le raisonnement de Paul Broussous.
De ce que je comprends, un anneau à division c'est un triplet $(A,+,\times)$ tel que :
(1) $(A,+,\times)$ est un anneau unitaire ;
(2) Tous les éléments de $A$, sauf le nul, sont inversibles.
Dès lors, comment comprendre l'expression "K-algèbre à division D" ? -
C'est juste que ton anneau à division est en plus une $K$-algèbre ($K$ étant un corps (commutatif)), c'est-à-dire que c'est également un $K$-espace vectoriel pour la même loi $+$, et que la multiplication par un scalaire est compatible avec la multiplication de l'anneau.
Par exemple $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une $\mathbb R$-algèbre de dimension $n^2$. -
Salut Dom. Tu veux dire deux racines comptées avec multiplicité ?
En cherchant un peu, j'ai trouvé l'intervention suivante de rschwieb sur https://math.stackexchange.com/questions/1121419/example-of-a-non-commutative-division-ring-with-finite-characteristics. Il existe des corps gauches non commutatifs de caractéristique $p$ (cela utilise des résultats qui ont l'air non triviaux). Sur un corps gauche non commutatif $D$ de caractéristique $2$, on trouve $(X-1)^2=X^2-2X+1=X^2-1=X^2+1$ et $1$ est la seule racine (double) de $X^2+1$ dans $D$. Sauf erreur, je ne connais pas trop les corps gauches. -
Je pense que la proposition suivante devrait être vraie.
Soit $K$ un corps (commutatif) et $D$ une $K$-algèbre à division centrale de dimension finie sur $K$. Alors si tout polynôme de $K[X]$ a un nombre fini (éventuellement $0$) de racines dans $D$, $D$ est commutative (en fait $D=K$). -
Je tiens juste à préciser que mon intention n'a jamais été de sous-entendre que les corps non commutatifs ne servent à rien.
C'est juste que d'un point de vue de la terminologie, vu que la grande majorité (à ce que je sache) du temps on s'intéresse aux corps commutatifs, je trouve plus logique de sous-entendre la commutativité quand on parle de "corps" et de parler de "corps non commutatif" (ou d'anneau à division) le reste du temps. Un peu comme on dit "anneau" la plupart du temps au lieu de "anneau unitaire", puisque c'est le truc le plus utilisé... et après on peut donner un autre nom (comme "pseudo-anneau") à l'objet dont l'utilisation est minoritaire.
Je trouve que ça illustre aussi leur utilisation : le mot anneau/corps "tout court" devrait être réservé au truc qu'on rencontre le plus, quitte à rajouter un qualificatif derrière pour les cas particuliers restants. -
100% d'accord avec Homo Topi.
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Merci pour ces réponses.
Je ne maîtrise rien donc je m’interroge de manière très candide. -
Poirot a écrit:Par exemple $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une $\mathbb R$-algèbre de dimension $n^2$.
Merci, je viens de lire la définition ici.
Je comprends cette multitude de définitions, il faut juste que je réordonne tout ça.
Existe t-il un schéma qui synthétise le tout ?
Groupe
Anneau
Anneau intègre
Corps
Algèbre
Algèbre à division
J'ai l'impression de saisir les définitions, mais j'ai du mal à voir les liens entre les différents objets manipulés. -
À faire !!!!!!
N’oublions pas magma et monoïde :-)
Anneau noetherien, anneau principal, anneau euclidien, anneau factoriel ? -
Il y a des classifications de plus en plus au sein de chacune de ces familles, c'est donc sans espoir ;-)
J'étais tombé sur cette image un jour, je ne sais plus qui en est l'auteur désolé. -
Il y a un théorème qui dit que les anneaux réguliers locaux sont factoriels. J'ai l'impression qu'il y a un petit problème dans le schéma à ce niveau-là : l'hypothèse de localité n'y figure pas.
-
En effet ! Fichtre toutes ces finesses de structures.
Bon, cela dit, un schéma plus simple avec les structures de L1-L2 doit être faisable.
Mais il n’y a pas vraiment d’inclusion au sens des ensembles mais au sens « on ajoute une loi » ou « on ajoute une propriété ».
Il ne faudrait pas leurrer tout le monde. -
Super ! Merci !
Pour l'instant j'en suis là :
Je place à la limite les cas contre-exemples.
$K$ est un corps $\iff$ $K$ est intègre, non ? -
Poirot : excellent schéma !
-
1) Tu as mis les matrice 2x2 dans les anneaux commutatifs.
2) qu’est-ce que K en premier lieu dans l’assertion tout en bas ?
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