Une démonstration rigoureuse ?

Bonjour,
je suis en train de démontrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$.
Soit $a\in\mathbb{Z}$.
(i) $a$ est premier avec $n$.
(ii) $\bar{a}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ où $((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\times)$ est le groupe multiplicatif des inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
(iii) $\bar{a}$ est générateur du groupe additif $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.
Je montre que (i) $\Leftrightarrow$ (ii) :
$a$ est premier avec $n$
$\Leftrightarrow$ il existe deux relatifs $u$ et $v$ tels que $au+nv=1$
$\Leftrightarrow$ il existe un relatif $u$ tel que $\bar{a}\bar{u}=\bar{1}$
$\Leftrightarrow$ $\bar{a}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.

Je montre que (i) $\Leftrightarrow$ (iii) :
Par double inclusion :
Clairement, $<\bar{a}>\subset \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Réciproquement :
$a$ est premier avec $n$
$\Leftrightarrow$ il existe deux relatifs $u$ et $v$ tels que $au+nv=1$
$\Leftrightarrow$ il existe un relatif $u$ tel que $u\bar{a}=\bar{1}$
Donc $\bar{1}\in<\bar{a}>$ et donc $<\bar{1}>\subset <\bar{a}>$ c-à-d $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\subset <\bar{a}>$.
Finalement : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=<\bar{a}>$.

Ai-je manqué de rigueur ?
Ou cela fonctionne-t-il ?
Merci pour l'aide :)

[Ne pas confondre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ avec $\mathbb{Z}_n$, ou alors préciser en tête de quoi c'est une abréviation ! AD]

Réponses

  • Ça me semble Ok.

    Pour $(i)\Longrightarrow (iii)$, on peut aussi dire directement
    $u a + v n = 1$, donc $\forall k \in \Z, k u a + k v n = k$, d'où $(ku) \bar a = \bar k$ modulo $n$.
  • BMaths: quand on veut montrer qu'on a plusieurs propositions qui sont équivalentes, souvent, on fait une démonstration "circulaire" i)=>ii),ii)=>iii),iii)=>i)
  • Bonjour,

    Deux questions :
    1) $\mathbb Z_n$, ici, c’est quoi ?
    Groupe $\mathbb Z/ n\mathbb Z$ ? Loi(s) ?
    Anneau ?

    2) $< x >$ est le ____ engendré par $x$ pour quelle loi ?


    Remarque : on parle des inversibles pour $\times$ il me semble, et $1$ est le neutre de $\times$ donc $<1>$ n’est-ce pas plutôt $\{1 \}$ dans cette histoire ?
  • Il manque une partie de l'énoncé dans le message #1. Sans doute "démontrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes.
    Ce qui m'amuse, c'est que les habitués rajoutent ce texte sans avoir vu son absence (comme on lit un texte avec des lettres manquantes sans s'en apercevoir).

    Cordialement.
  • La bonne dose d’implicites...
    Le forum ayant vocation à servir au plus grand nombre, c’est la raison pour laquelle j’ai posé mes questions.
  • J'ai un peu rectifié l'énoncé de départ !

    Effectivement, on parle bien de l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$.

    Ensuite $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{\times}$ désigne l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau. On sait que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}^{\times},\times)$ est un groupe multiplicatif.

    Enfin $<\bar{1}>$ c'est un abus d'écriture je suppose mais effectivement, on devrait écrire $<\{\bar{1}\}>$ pour désigner le sous-groupe engendré par la partie $\{\bar{1}\}$, c-à-d l'intersection de tous les sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ contenant la partie $\{\bar{1}\}$.

    Ai-je bien compris ?
  • Mais le problème c’est que avec la loi $\times$, l’élément neutre $1$ ne génère que lui-même.
  • Pour montrer que (i)$\Leftrightarrow$(iii), j'utilise la loi + ce coup-ci.

    Non ?
    Ou bien quelque chose m'échappe !
  • Avec la loi $+$ on n’engendre pas le groupe multiplicatif des inversibles.
  • J'ai de nouveau rectifié mon message initial.

    Je reprends la démonstration suivante (i) $\Leftrightarrow$ (ii) :

    $a$ est premier avec $n$
    $\Leftrightarrow$ il existe $u$ et $v$ tels que $au+nv=1$ dans $(\mathbb{Z},+,\times)$
    $\Leftrightarrow$ il existe $u$ tel que $\bar{a}\bar{u}=\bar{1}$ dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times)$
    $\Leftrightarrow$ $\bar{a}\in((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\times)$.

    Est-ce correct ?
  • Pour moi, ce que tu écris est correct. Juste une remarque: tu utilises la notation $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \times)$, ce n'est pas courant. Cette chose désigne le monoïde multiplicatif de l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, + , \times)$. Ton identité $\bar{a}\bar{u} = \bar{1}$ est certes vraie dans ce monoïde, mais à mon avis ça ne coute rien de dire qu'elle est vraie dans l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, + , \times)$.

    Ensuite, quand tu écris "il existe $u$ tel que", si tu veux effectivement maximiser la rigueur de ce que tu écris, tu devrais préciser dans quel ensemble cet objet vit, c'est-à-dire: "il existe $u$ dans $\mathbb{Z}$ tel que...".

    Enfin, si tu veux vraiment être ultra rigoureux, il faudrait rajouter une ligne entre ta dernière et ton avant-dernière équivalente, qui serait quelque chose comme: "il existe $c$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tel que $\bar{a}c = \bar{1}$", afin que ce soit texto la définition d'être inversible. Et justifier l'équivalence de ceci avec l'avant-dernière par le fait que $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est surjective.
  • Je reprends alors !

    Je veux toujours prouver que (i) $\Leftrightarrow$ (ii) :

    $a$ est premier avec $n$
    $\Leftrightarrow$ il existe $u$ et $v$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $au+nv=1$ dans $(\mathbb{Z},+,\times)$
    $\Leftrightarrow$ il existe $u$ dans $\mathbb{Z}$ tel que $u\bar{a}=\bar{1}$ dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$
    $\Leftrightarrow$ il existe $\bar{u}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tel que $\bar{u}\bar{a}=\bar{1}$ dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$
    $\Leftrightarrow$ $\bar{a}\in((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\times)$.

    Est-ce mieux ?
  • Pas vraiment, dans ta deuxième équivalence, tu écris $u\bar{a}$. Il faut plutôt écrire $\bar{u}\bar{a}$: tu veux multiplier entre eux deux éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, pas un élément de $\mathbb{Z}$ et un élément de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

    Dans ton avant-dernière équivalence, tu écris "il existe $\bar{u}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$", j'aurais plutôt utilisé un autre nom que $\bar{u}$, puisque, a priori, un élément de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ n'a aucune raison d'être de la forme $\bar{u}$, et, parce que $n \mapsto \bar{n}$ est surjective, il est a fortiori de cette forme, il y a donc quelque chose à dire quand on écrit ça, d'où à mon avis le fait de le séparer en une équivalence distincte:

    "Il existe $u \in \mathbb{Z}$ tel que $\bar{u}\bar{a} = \bar{1} \iff$ il existe $c \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tel que $\bar{a}c = \bar{1}$ (surjectivité de $\pi: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$)".
  • Je ne saisis pas. Les éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont des classes d'équivalence, donc je dois les écrire avec une barre au-dessus non ?

    Je vais encore "scinder" en deux.

    [il existe $\bar{c} \in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tel que $\bar{c}\bar{a}=\bar{1}$] $\Longrightarrow$ [Il existe $u \in \mathbb{Z}$ tel que $\bar{u}\bar{a} = \bar{1}$] car $\pi: \mathbb{Z} \to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est surjective.

    [Il existe $u \in \mathbb{Z}$ tel que $\bar{u}\bar{a} = \bar{1}] \Longrightarrow$ [il existe $\bar{c} \in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tel que $\bar{a}c=\bar{1}$] en prenant $u=c$.

    Donc l'équivalence est assurée ?
  • Bien sûr que l'équivalence est assuré, ça, personne n'en doute :-D. Et bien sûr que les éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont les classes d'équivalences.

    Ce que j'essaye (maladroitement) de dire, c'est ça:

    Les éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ sont... Les éléments de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et rien d'autre, a priori. La définition de "$a$ est inversible dans un anneau $(A, +, x)$", c'est précisément "Il existe $c \in A$ tel que $c \times a = a \times c = 1_A$".

    Ben, là, tu calques avec $A = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, et $\bar{a}$:

    $\bar{a}$ est inversible dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement si il existe $c$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tel que $c \bar{a} = \bar{1}$.

    Peut-être que si tu remplaces la "barre" par une fonction $f$, ça se verra mieux: en général, écris-tu "Soit $x \in E$" ou bien "Soit $f(y) \in E$" quand tu as un ensemble $E$ et une fonction surjective $f: F \to E$?
    Tu écris plutôt le premier, et tu justifies ensuite qu'il existe $y \in F$ tel que $x = f(y)$ par surjectivité de $f$. Là, la "barre", ce n'est pas juste un nom, c'est une fonction surjective de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

    Mais encore une fois, on est sur du chipotage, et ce que tu écris reste correct, mais puisque tu veux une preuve rigoureuse "jusqu'au bout", chipotons (:D. Je pense que pas grand monde t'embêtera si tu écris "soit $\bar{k} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$", mais c'est bien d'avoir conscience que il y a des choses qui se passent quand on écrit ça.
  • Pas de souci, dans le chipotage, je remets pas mal de chose à l'endroit dans ma tête :)

    Je traduis :

    $\pi: \mathbb{Z} \to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est surjective $\iff \forall c\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , $\exists u\in\mathbb{Z}$ , $\pi(u)=c$ $\iff \forall c=\bar{r}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , $\exists u\in\mathbb{Z}$ , $\bar{u}=\bar{r}$.

    En fait, ce que je me demande, c'est :

    La surjectivité de $\pi$, elle intervient pour ce sens là $\Rightarrow$ ou l'autre ?
  • Bonjour,
    j'ai repris scrupuleusement la définition de "être inversible". Elle est ici.

    Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif unitaire de neutre $0$ pour la loi $+$ et $1$ pour la loi $\times$.
    $x\in A$ est inversible $\iff \exists y\in A,$ tel que $xy=1$
    Maintenant je vais l'appliquer à l'anneau $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)$ de neutre $\bar{0}$ pour la loi $+$ et $\bar{1}$ pour la loi $\times$.
    $\bar{x}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est inversible $\iff \exists \bar{y}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},$ tel que $\bar{x}\bar{y}=\bar{1}$

    Je vais donc essayer de démontrer rigoureusement que $(i) \iff (ii)$ avec les notations de mon message initial.
    C-à-d que $a\wedge n=1\iff \bar{a}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},$ où $((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\times)$ est le groupe multiplicatif des inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.Allons-y.
    \begin{align*}
    a\wedge n=1
    &\iff \exists (u,v)\in\mathbb{Z}^2,\ au+nv=1\\
    &\iff \exists (u,v)\in\mathbb{Z}^2,\ \bar{a}\bar{u}=\bar{1} \\
    &\iff \bar{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\ \text{ et }\ \exists\bar{u}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ \bar{a}\bar{u}=\bar{1} \\
    &\iff \bar{a}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},

    \end{align*} où $((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times},\times) $ est le groupe multiplicatif des inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

    Y a-t-il une approximation en terme de "raisonnement logique" ?
  • Dans la troisième formule la quantification sur $v$ est inutile puisque $v$ n'intervient pas. Dans la quatrième $\bar{a}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ne sert à rien, en somme c'est exactement ce qui devrait apparaître dans la troisième formule. Au niveau logique c'est correct, mais au niveau rédactionnel c'est sujet à débat, je pense qu'il est beaucoup plus sain d'écrire ce genre de démonstration par double implication et avec des phrases "Supposons truc, alors machin", au lieu de se reposer sur les symboles d'implication et d'équivalence qui sont majoritairement incompris des étudiants.
  • Poirot a écrit:
    au lieu de se reposer sur les symboles d'implication et d'équivalence qui sont majoritairement incompris des étudiants.

    C'est ce qui me fait le plus défaut j'ai l'impression.
    L'autre jour, je travaillais sur les diviseurs de zéro dans un anneau. La définition livrée était : un anneau est intègre s'il est sans diviseurs de zéro. En soi, je comprends. Mais pour "faire des mathématiques", j'éprouve le besoin de passer par des quantificateurs. Et puis un membre du forum (Homo Topi) est venu m'aider à comprendre, depuis je sais.

    L'anneau $A$ possède des diviseurs de zéro : $\exists a\in A\setminus\{0\}\,,\exists b\in B\setminus\{0\}\,,ab=0$.
    Et son "contraire" :
    L'anneau $A$ ne possède pas de diviseurs de zéro : $\forall a\in A\setminus\{0\}\,,\forall b\in B\setminus\{0\}\,,ab\neq 0$.

    Et là, j'ai l'impression de l'avoir bien assimilé.

    Bref. J'en reviens à la démonstration :

    Supposons que $a\wedge n=1$. Alors il existe $u$ et $v$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $au+nv=1$. Par conséquent, $\overline{au+nv}=\bar{1}$ et donc $\bar{a}\bar{u}=\bar{1}$. Ce qui signifie que $\bar{a}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$.

    Réciproquement, supposons que $\bar{a}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$. Alors il existe $\bar{u}\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tel que $\bar{a}\bar{u}=\bar{1}$ et donc $\overline{au}=\bar{1}$. Ainsi, $1-au\in n\mathbb{Z}$ et donc il existe $v\in\mathbb{Z}$ tel que $1=au+nv$, c-à-d $a\wedge n=1$.

    Est-ce mieux ?
  • C'est parfait comme ça ! ;-)
  • Et oui. C’est tellement plus lisible.
  • Merci ! J'arrête les bêtises alors ! Il y avait peut être aussi une volonté de "gagner" du temps, au détriment de la qualité visiblement.

    Je vais de même démontrer que :

    $a$ est premier avec $n$ $\iff$ $\bar{a}$ est générateur du groupe additif $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.

    Supposons que $a\wedge n=1$. Alors il existe $u$ et $v$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $au+nv=1$. Par conséquent, $\overline{au+nv}=\bar{1}$ et donc $\overline{au}=\bar{1}$. D'où $u\times\overline{a}=\bar{1}$. Ceci prouve que $\bar{1}\in<\bar{a}>$, implique que $<\bar{1}>\subset<\bar{a}>$ et finalement que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\subset <\bar{a}>$ car $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=<\bar{1}>$. On obtient alors l'égalité $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=<\bar{a}>$ car l'inclusion réciproque est assurée. $\bar{a}$ est donc bien un générateur du groupe additif $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$.

    Réciproquement, supposons que $\bar{a}$ soit un générateur du groupe additif $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$. Alors on a l'égalité $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=<\bar{1}>=<\bar{a}>$. En particulier, $\bar{1}\in<\bar{a}>$. Ainsi, il existe $u\in\mathbb{Z}$ tel que $u\times\bar{a}=\bar{1}$. Et donc $\overline{ua}=\overline{1}$, soit $1-ua\in n\mathbb{Z}$. Il existe donc $v\in\mathbb{Z}$ tel que $1-ua=nv$ et ceci prouve que $a$ et $n$ sont premiers entre eux.

    Est-ce mieux ainsi ?
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