Les inversibles de l'ensemble des décimaux

Bonjour,
dans un exercice, on définit :
$\mathbb{D}:=\{\dfrac{n}{10^k}\mid n\in\mathbb{Z},\ k\in\mathbb{N}\}$
J'ai montré que $(\mathbb{D},+,x)$ est un anneau.

Je cherche $\mathbb{D}^{\times}$.
J'écris, en revenant à la définition, que $x\in\mathbb{D}^{\times}\Longleftrightarrow\exists y\in \mathbb{D},\ xy=1$.
Ce qui conduit à écrire quelque chose de ce type $mn=10^{k+\ell}$ et donc $n\mid 10^{k+\ell}$.
Et là je bloque.

J'écris qu'il existe $k$ dans $\mathbb{Z}$ de sorte que $10^{k+\ell}=n\times k$ et donc $x:=\dfrac{n}{10^k}=\dfrac{10^{k+\ell}}{k10^k}=\dfrac{10^{\ell}}{k}$ sans parvenir à ce que livre la correction, à savoir :
$\mathbb{D}^{\times}=\{\pm2^p5^q\mid (p,q)\in\mathbb{Z}^2\}$.
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci :)

Réponses

  • $\mathbb D$ est un sous-anneau de $\mathbb Q$. L'inverse de $\dfrac{n}{10^k}$ (où $n\neq 0$) dans $\mathbb Q$ est $\dfrac{10^k}{n}$. Quels sont les $n$ pour lesquels ce rationnel peut s'écrire comme fraction avec une puissance de 10 au dénominateur ?
  • En somme je veux une égalité de ce type : $\displaystyle\frac{10^k}{n}=\frac{s}{10^p}$, soit $\displaystyle\frac{10^{k+p}}{s}=n$, mais j'ai l'impression de tourner en rond.

    Je comprends bien que, si dans la décomposition en facteurs premiers de $n$ n'apparaît que $2$ et/ou $5$, cela fonctionne.

    Mais comment l'expliquer ?
  • Salut,

    As-tu proprement démontré ceci?
    $\mathbb{D}$ est l'ensemble des rationnels dont la forme irréductible est de type $\frac{p}{2^k5^n}$ avec $k$ et $n$ deux entiers naturels et $p\in \mathbb{Z}$. Vas-y bourrin en arithmétique, utilise des trucs comme l'unicité de la décomposition en facteur premier et le lemme de Gauss sans te poser la moindre question.

    Une fois que tu l'as, la suite est facile (quelle est la forme de $p$ sous forme irréductible?).
  • J'ai correctement démontré que $\mathbb{D}$ est un sous-anneau de $(\mathbb{Q},+,\times )$.

    Jusque là, pas de problème.
    Maintenant $y\in\mathbb{D}$ est un inverse de $x\in\mathbb{D}$ signifie que $xy=1$.
    J'écris alors que $\displaystyle x=\frac{n}{10^k}$ et $\displaystyle y=\frac{m}{10^l}$ avec $(n,m)\in\mathbb{Z}^2$ et $(k,l)\in\mathbb{N}^2$.
    Ce qui donne $\displaystyle xy=1\Longleftrightarrow\frac{nm}{10^{k+l}}=1\Longleftrightarrow nm=10^{k+l}=2^{k+l}5^{k+l}$.
    Donc forcément, $nm\in\mathbb{N}$.

    Et là je bloque.
    Je peux dire que $n\mid 2^{k+l}5^{k+l}$.
    Ensuite je peux écrire $n=\prod_{\mathbb{p\in\mathcal{P}}}p^{v_p(n)}$ où la suite $(v_p(n))_{p\in\mathcal{P}}$ est une suite d'entiers unique et nulle à partir d'un certain rang.
    Mais cela me paraît trop "lourd" pour cet exercice.
  • M'enfin ????
    Si un entier $n$ divise une puissance de 10, quels peuvent être ses facteurs premiers ?
  • Ses seuls facteurs premiers sont 2 et 5.
    Mais pourquoi ? Je le sens bien sans le justifier correctement -_-
  • Est-ce qu'un nombre premier différent de 2 ou 5 peut diviser une puissance de 10 ?
  • Non, bien sûr !
    Je le vois bien sur cet exemple.
    Mais quel est le résultat "général" qu'il y a derrière ?
  • L'unicité dans le théorème fondamental de l'arithmétique?
  • Soit $b$ un entier supérieur à $2$, une base d’un système de numération.
    Quels sont les éléments inversibles de l’anneau des $b$-décimaux ? (Je ne sais pas si c’est le bon vocabulaire)
  • Lemme d'Euclide — Si un nombre premier p divise le produit de deux nombres entiers b et c, alors p divise b ou c.
    Euclide ... ce n'est pas un résultat de première fraîcheur.
  • @ Dom
    Moi aussi je me suis toujours demandé comment on appelle cet anneau $\mathbb Z[\frac 1b]$, $b \ge2$. Peut-être n'a-t-il pas de nom car il serait considéré comme peu intéressant mathématiquement parlant ? Mais ces nombres sont tout de même intéressants, alors peut-être quelqu'un nous éclairera.
  • GBMZ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1962714,1962846#msg-1962846

    Je ne connaissais pas l'appellation, mais je connaissais ce résultat ... Peut-être l'appeler ainsi dorénavant m'aidera à le retenir !
    Voici la preuve :

    Notons $d=pgcd(p,b)$.
    Alors, en particulier, $d\mid p$ donc $d=p$ ou $d=1$.
    En supposant que $d=p$, alors on a $p=pgcd(p,b)$ et donc $p\mid b$.
    En supposant que $d=1$, alors on a $p\mid bc$ et $1=pgcd(p,b)$ donc, par le lemme de Gauss, on sait que $p\mid c$.

    Donc maintenant j'imprime qu'il y a le lemme de Gauss, et celui d'Euclide !
  • Donc mon exercice, j'arrive à $n\mid 10^{k+\ell}$ (message initial).

    Soit $n\mid 2^{p}5^p$ en notant $p=k+\ell$.

    Je suppose que $n \ge 2$.

    Il admet un diviseur premier, que je note $p$.

    Alors $p|n$ et $n|2^p5^p$. Par transitivité $p\mid 2^p5^p$.

    Alors $p\mid 2^p$ ou $p\mid 5^p$ par le lemme d'Euclide.

    D'où l'on tire que les seuls facteurs premiers qui apparaissent dans $n$ sont $2$ ou $5$.

    Me trompe-je ?

    Il reste à voir ce qu'il se passe pour $n<2$.
  • J'ai écrit une bêtise ?
  • C'est plutôt mal rédigé mais correct. Attention à tes exposants qui n'ont aucune raison d'être le même $p$ que le facteur premier considéré.

    Pour $n < 2$ il n'y a pas grand-chose à voir :-D
  • Poirot a écrit:
    Attention à tes exposants qui n'ont aucune raison d'être le même $p$ que le facteur premier considéré.

    C'est-à-dire ?
  • Tu utilises deux fois la lettre $p$ pour deux entiers a priori d’instincts distincts.

    Notamment $p\mid 2^p5^p$.
  • Arf, je fatigue !

    Donc j'arrive à $n\mid 10^{k+\ell}$ (message initial).
    Soit $n\mid 2^{s}5^s$ en notant $s=k+\ell$.
    Je suppose que $n \in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$.
    Par théorème, on sait qu'il admet un diviseur premier, que je note $p$.
    Alors $p\mid n$ et $n\mid 2^s5^s$. Par transitivité $p\mid 2^s5^s$.
    Alors $p\mid 2^s$ ou $p\mid 5^s$ par le lemme d'Euclide.
    D'où l'on tire que les seuls facteurs premiers qui apparaissent dans $n$ sont $2$ ou $5$.

    C'est mieux ?
  • GaBuZoMeu a écrit:
    $\mathbb D$ est un sous-anneau de $\mathbb Q$. L'inverse de $\dfrac{n}{10^k}$ (où $n\neq 0$) dans $\mathbb Q$ est $\dfrac{10^k}{n}$. Quels sont les $n$ pour lesquels ce rationnel peut s'écrire comme fraction avec une puissance de 10 au dénominateur ?

    Je comprends mieux.
    L'inverse de $x=\dfrac{n}{10^k}$ (avec $n\neq 0$) dans $\mathbb Q$ est $y=\dfrac{10^k}{n}$.

    Pour que $x$ soit inversible dans $\mathbb D$, il faut que $y\in\mathbb D$ et donc que $y=\dfrac{10^k}{n}\in\mathbb D$.

    C'est le cas s'il existe $u\in\mathbb N^{*}$ tel que $n=\pm 10^u$.

    D'où $y=\dfrac{\pm 10^k}{10^u}=\pm 10^{k-u}=\pm 2^p5^q$ avec $(p,q)\in\mathbb Z$.

    Et réciproquement.

    D'où l'égalité annoncée dans message initial.
  • Non, ce que tu écris ne va pas du tout : $\frac{100}{4}$ est un nombre décimal, et pourtant 4 n'est pas une puissance de 10.
  • Je corrige mon message.

    On arrive à $n\mid 10^{k+\ell}$, ce qui donne $n\mid 2^{s}5^s$ en notant $s=k+\ell$.

    Je suppose que $n \in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$.
    Par théorème, on sait que $n$ admet un diviseur premier, que je note $p$.
    [small][En fait, je pensais que ce théorème ne s'appliquait que pour $n\ge 2$, mais il est vrai aussi pour $n \in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$.][/small]

    Alors $p\mid n$ et $n\mid 2^s5^s$. Par transitivité $p\mid 2^s5^s$. En utilisant le lemme d'Euclide, on trouve $p\mid 2^s$ ou $p\mid 5^s$.

    Premier cas : $p\mid 2^s$.
    Dans ce cas, $2^s=p\times d$ pour un certain $d\in\mathbb{N}^*$.

    Le théorème fondamental de l'arithmétique permet d'écrire $d=\prod_{q\in\mathcal{P}}q^{a_q}=p^{a_p}\prod_{q\in\mathcal{P}\setminus\{p\}}q^{a_q}$.
    Et donc $2^s=p^{a_p+1}\prod_{q\in\mathcal{P}\setminus\{p\}}q^{a_q}$.

    L'unicité de l'écriture assurée par le théorème fondamental permet d'en conclure que :
    - $p=2$
    - $a_p+1=s$
    - $\forall q\in\mathcal{P}\setminus\{p\}$, $a_q=0$

    Deuxième cas : $p\mid 5^s$.
    Un raisonnement identique livre $p=5$.

    On en déduit que les seuls facteurs premiers $p$ qui apparaissent dans $n$ sont $2$ ou $5$.

    Sans oublier que les cas où $n=-1,\,0\,ou\,1$.
    Cela m'a l'air de tenir la route.

    PS :
    J'aimerais trouver une tournure qui me permette de voir plus rapidement que $p\mid 2^s \Rightarrow p=2$, mais je n'ai rien de concluant.
  • Bonsoir.

    Si p premier divise un produit, il divise l'un des facteurs.
    Ou bien : la décomposition en facteurs premiers de $2^s$ ne contient que des 2 et contient p.

    Cordialement.
  • Bonsoir gérard, je vois.

    En fait, $p\mid 2^s$ s'écrit aussi $p\mid 2\times 2^{s-1}$ et le lemme d'Euclide impose $p\mid 2$ ou $p\mid 2^{s-1}$.

    Si $p\mid 2$, alors $p=2$.

    Si $p\mid 2^{s-1}$, alors on recommence en écrivant $2^{s-1}=2\times 2^{s-2}$

    Par application répétée du lemme d'Euclide, on obtient finalement $p\mid 2$ et donc $p=2$.

    Je trouve ça mieux :)
    Merci !
  • En fait, on démontre de façon générale que si p premier divise un produit d'entiers, il divise au moins l'un des entiers.

    Cordialement.
  • Bonjour gérard,
    oui, je viens de lire ce résultat !

    Lemme d'Euclide :
    $p\in\mathcal{P}$ et $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$
    Alors :
    $p\mid ab \Rightarrow p\mid a\,\,ou\,\,p\mid b$

    Généralisation du lemme d'Euclide (par récurrence) :
    $p\in\mathcal{P}$ et $(a_1,\cdots,a_m)\in\mathbb{Z}^m$
    Alors :
    $p\mid a_1\cdots a_m \Rightarrow \exists i\in 1,m\,,p\mid a_i$.

    Application ici :
    $p\mid 2^s=\underset{s\,fois}{2\times\cdots\times 2}$ qui impose que $p\mid 2$ et donc $p=2$.

    Une question que je me pose encore :
    Dans le lemme d'Euclide ou sa généralisation, on a une implication. Il me semble pourtant que c'est une équivalence. Me trompe-je ? Pourquoi ne pas l'écrire avec une équivalence ?
  • C'est effectivement une équivalence. On ne l'écrit pas ainsi parce que la réciproque est triviale pour n'importe quel entier, même non premier. Le vrai contenu du lemme d'Euclide c'est cette implication.
  • Merci !
    Finalement, en remettant les choses dans l'ordre, cela donne :
    Soit $x\in\mathbb{D}^{\times}$ s'écrivant donc $x=\frac{n}{10^k}$.

    Je traite pour commencer le cas 1 : $n=0$ ou $n=\epsilon$ avec $\epsilon\in\{\pm1\}$.
    Je traite ensuite le cas 2 : $n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$

    Cas 1 :
    Si $n=0$ alors $x=0$ qui n'est pas inversible dans $\mathbb{D}$.
    Si $n=\epsilon$ alors $x=\frac{\epsilon}{10^k}$ et donc avec $y=\frac{10^k}{\epsilon}$, on a $xy=1$.
    De surcroît, $y=\frac{10^k}{\epsilon}=\frac{\epsilon}{10^{-k}}\in\mathbb{D}$.
    Donc $x$ est inversible dans $\mathbb{D}$ dans ce cas, d'inverse $x=\epsilon2^{k}5^{k}$

    Cas 2 :
    Si $n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}$, alors ce qui précède prouve que $xy=1$ impose que les diviseurs premiers de $p$ de $n$ soit $p=2$ ou $p=5$.

    Par conséquent $n=\epsilon2^u5^v$ et donc $x=\frac{\epsilon2^{u}5^{v}}{2^k5^k}=\epsilon2^a5^b$.

    Dans tous les cas, on a $\mathbb{D}^{\times}\subset \{\epsilon2^a5^b\mid (a,b)\in\mathbb{Z}\}$, et réciproquement.
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