Argument [bête] sur la règle de l'Hôpital

Reinhard

Bonjour,
j'ai un peu honte de faire ce sujet mais en corrigeant l'exercice de L1 de mon frère, je me suis aperçu que le professeur passait sous silence un point. L'énoncé disait

On suppose que $f$ et $g$ sont continues et dérivables sur $I$ un intervalle de longueur strictement positive inclus dans $\mathbf{R}$, que $a$ est un point intérieur à $I$, que $f(a) = g(a) = 0$ mais que $g'(a) \neq 0$. Alors $f(x)/g(x)$ tend vers $f'(a)/g'(a)$ si $x$ tend vers $a$.

La question que je me pose est : est-ce qu'on a bien le droit de diviser par $g(x)$. A priori, il faudrait que $g$ soit non nulle sur un intervalle du style $]a-\eta,a+\eta[ - \{a\} ,\ \eta > 0 $ pour pouvoir faire cela. Si, par l'absurde, $g$ était identiquement nulle sur $]a-\eta,a+\eta[$, $g$ se confondrait avec la fonction nulle et donc $g'(a)$ serait égal à zéro ce qui contredit notre hypothèse. Maintenant, supposons que $g$ soit nulle sur un intervalle de la forme $[a,a+\eta[$. C'est vrai que pour tout $\varepsilon > 0$, $g$ est identiquement nulle sur $]a+\varepsilon,a+\eta[$, et donc que $g'$ est identiquement nulle sur $]a+\varepsilon,a+\eta[$, mais comme a priori on n'a aucune information sur la continuité de $g'$ en $a$ on ne peut rien dire de plus.

Même le théorème d'inversion locale ne marche pas car il faut supposer $g$ de classe $\mathcal{C}^1$ au minimum. (:P)

J'ai l'impression que je loupe un argument vraiment simple et vraiment stupide mais sur le coup je ne vois pas. Parce que dans le cas où $g$ est une espèce de fonction "marche", elle peut être identiquement nulle à droite et être strictement positive à gauche.
Et je me dis que je ne peux pas réfléchir trop loin parce que ce serait inaccessible pour un L1-L2 classique. (:P)

Calli

Bonjour,
$g$ est dérivable en $a$ de dérivée non nulle donc $g(x)\sim g'(a)(x-a)$, soit $g(x) = h(x)g'(a)(x-a)$ au voisinage de $a$ avec $h(x) \xrightarrow[x\to a]{}1$. Donc $h$ ne s'annule pas au voisinage de $a$ et $g$ non plus. Donc $\frac{f(x)}{g(x)}$ est bien définie au voisinage de $a$.