Liste ne contenant pas de nombres consécutifs

bd2017

Bonjour
Soit $E=\lbrace1,2,...,45\rbrace.$ Comment dénombrer le nombre de parties de E qui contiennent 5 éléments mais dans dans une telle partie, il n'y a pas de nombres consécutifs?
Merci d'avance.

Chaurien

Je dirais $\binom{41}{5}$, a bisto de nas.

bd2017

Bonjour
Merci, mais je pense que ce n'est pas ça. En effet par simulation je trouve une valeur approchée de 0. 38 . Alors que
binomial(41,5)/binomial(45,5)$\approx 0.61$

rosab

Bonjour,
Ton problème est un classique des probabilités au Loto, qui a déjà été traité sur ce forum, par exemple ici :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,940545
Donc tirage sans remise de 5 numéros parmi 41, comme le dit Chaurien.

lourrran

Le 0.38 meparaît très sous-estimé.

Faisons ce raisonnement : J'ai 45 possibilité pour le 1er tirage.
Il me reste 42 possibilités pour le 2ème tirage
Puis 39 pour le 3ème
puis 36 puis 33
(45*42*39*36*33)/(45*44*43*42*41)=0.597

Et pourtant, dans mon raisonnement, je fais plusieurs impasses, qui sous-estiment le nombre de combinaisons. Si le 1er tirage donne 1 ou 45, alors il me reste 43 possibilités pour le 2ème tirage, et j'ai compté seulement 42.
Si les 2 premiers tirages donnent k et k+2, alors il me reste 40 options pour le 3ème tirage, et j'ai compté seulement 39.

Il me semble que binomial (41,5) soit le bon résultat.

Dans ta simulation, n'aurais-tu pas compté le complémentaire ? 0.613+0.387=1 !

bd2017

Rebonjour
D'abord merci à tous. D'une part effectivement ma simulation concerne l'événement contraire et le résultat de @chaurien est le bon, ensuite merci pour le lien où finalement la démonstration est simple (à comprendre).

Chaurien

D'une façon générale, le nombre de $k$-parties de $\{1,2,...,n\}$ sans nombres consécutifs est $\binom{n-k+1}{k}$.
La démonstration est celle de Siméon il y a cinq ans : on « resserre». Coïncidence, dans un fil récent, j'« étire ». http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?34,1954874,1955150#msg-1955150
Comme quoi en Combinatoire tous les coups sont permis ;-).

Si l'on tire au hasard sans remise $k$ nombres dans $\{1,2,...,n\}$, la probabilité que l'on n'obtienne pas de nombres consécutifs est donc
$p_{n,k}= \frac {\binom{n-k+1}{k}}{\binom{n}{k} }$. On peut étudier la variation de cette suite $p_{n,k}$ quand $k$ varie, avec $n$ fixé.