Homéomorphisme local

Bonsoir, petite question que je n'arrive pas à résoudre.

Soient $X$, $Y$ deux espaces topologiques, $A\subset X$ un ouvert et $f:X\to Y$ une application continue telle que la restriction de $f$ à $A$ soit un homéomorphisme sur son image. Est-il vrai que $f(A)$ est un ouvert de $Y$ ?

Réponses

  • Non, si $A=X=\R$ et $Y=\R^2$, on plonge $A=X$ dans $\R^2$ par $x\mapsto(x,0)$.
    C'est un homéomorphisme sur son image $\R\times\{0\}$, mais ça ne donne pas un ouvert de $Y=\R^2$.
  • Bonjour,
    La réponse est non. Un exemple : $A=X\subset Y$ avec $X$ non ouvert dans $Y$ et $f$ l'inclusion naturelle $X\to Y$.
    Edit : Devancé par marsup ! ^^
  • Ah oui effectivement, je pensais fortement que c'était vrai mais impossible de le montrer, je n'ai pas pensé aux contre-exemples. Merci en tout cas !
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