Caractérisation de l'ordre d'un élément

Bonjour

Dans un exercice, j'ai dû montrer qu'un élément $b$ d'un groupe $(G,.)$ était d'ordre $p$. J'ai cru bien faire en montrant que : $\ b^p=1$.

Mais ce n'était pas suffisant. Il fallait en plus montrer que si $b^r=1$ alors $p\mid r$. Et c'est ce dernier point que je ne cerne pas.
Je suis revenu à la définition qui affirme que l'ordre d'un élément $b$ est le plus petit entier non nul de sorte que l'itéré obtenu avec cet entier soit égal au neutre. Est-ce pour cette raison ?
Est-ce à dire que l'ordre $o(b)$ de l'élément $b$ se caractérise par $b^{o(b)}=1$ et $(b^r=1 \Rightarrow o(b)\mid r)$ ?
Pouvez-vous m'aider ?
D'avance merci.

Réponses

  • Bonsoir,
    Il faut en effet vérifier : $\forall r, b^r=1\Rightarrow p\mid r$. Si on n'imposait pas cela dans la définition, un élément d'ordre 2 serait aussi d'ordre 4, 6, etc. (et tous les nombres pairs). On ne pourrait pas parler de L'ordre d'un élément car il ne serait pas unique.

    Si $p$ est premier (je pense à ça parce qu'il s'appelle $p$ et que les $p$ sont souvent premiers), alors c'est plus simple car il suffit que $b\neq 1$ pour avoir : $\forall r,\ b^r=1\Rightarrow p\mid r$ (si on a déjà $b^p=1$).
  • Je vois.
    En fait, je pose la question car dans le cours il est écrit que l'ordre d'un élément $a$ d'un groupe $(G,.)$ (fini ou non) est le plus petit entier $\color{red}{n}$ non nul de sorte que $a^n=e$. Mais cette caractérisation n'est pas inscrite dans la leçon.
    Et je m'aperçois qu'elle est utilisée dans les exercices. Mais je saisis bien le sens.

    Pour s'assurer que ce soit bien le plus petit entier non nul, il faut montrer que s'il en existe un autre alors il "se fait diviser" par celui-ci. Et ceci assurera le fait qu'il est plus petit.

    Autre question : la caractérisation est bien la suivante :
    $b^{o(b)}=1$ et $(b^r=1 \Rightarrow o(b)\mid r)$
    ou
    $b^{o(b)}=1$ et $(b^r=1 \Leftrightarrow o(b)\mid r)$
  • Bmaths:

    L'ordre d'un élément $g$ de $G$ est l'ordre du sous-groupe engendré par l'élément $g$.
    Si ce sous-groupe $<g>$ est inclus dans un sous-groupe $H$ il doit diviser l'ordre de $H$.
    (cas particulier du théorème de Lagrange)
  • si $b^{o(b)}=1$ alors $o(b)\mid r $ implique toujours $b^{r}=1$ (les deux propositions de définition sont équivalentes).
  • Je connaissais ce résultat.
    Mais je ne fais pas le lien avec ma question
  • BMaths a écrit:
    Autre question : la caractérisation est bien la suivante :
    $b^{o(b)}=1$ et $(b^r=1 \Rightarrow o(b)|r)$
    ou
    $b^{o(b)}=1$ et $(b^r=1 \Leftrightarrow o(b)|r)$
    ?

    Les deux sont équivalentes car si $p\mid r$ et $b^p=1$, alors $b^r=1$. Mais la première caractérisation est plus pratique à utiliser car il y a moins de choses à vérifier.
    Edit : doublé par @Polka
  • Avec la définition l'ordre d'un élément $g$ est le plus petit entier $d$ non nul tel que $g^d=1$.

    On montre aisément que si $g^m=1$ alors $d$ divise $m$.
    On procède à la division euclidienne de $m$ par $d$, il existe donc $b$ entier et $0\leq r<d$ tels que $m=db+r$.
    Et on a $1=g^{m}=g^{db+r}=(g^b)^dg^r=g^r$
    On a donc trouvé un entier $r$ plus petit que $d$ tel que $g^r=1$. Cela n'est possible que si $r=0$ .
  • Merci pour vos retours :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.