Agreg interne 251 et 443

permaths

Bonjour à tous,
en panne sèche de références pour ces deux leçons qui traitent de méthodes de résolution approchée d'équations et d'équations différentielles.
Il y a quelques petites choses dans Pommellet.
Je pense développer la méthode de Newton...
Des idées et surtout des références ?
Merci par avance.

nicolas.patrois

Pour les équations différentielles, tu as les méthodes d’Euler (explicite et implicite), RK et compagnie. Ça me semble une leçon difficile.
Pour les équations tout court, tu as les méthodes de dichotomie, de balayage et des méthodes en dimensions supérieures à 1 (méthodes itératives pour les systèmes d’équations dont j’ai oublié le nom, peut-être Jacobi).

bernas

Bonjour
Je te propose: Calcul Scientifique de Alfio Quarteroni ...
J’ai travaillé dessus pendant mes préparations et je l’ai trouvé pertinent. Les programmes proposés sont en Matlab dont les commandes sont proches de celles de Scilab qui est mis à disposition des candidats.

Bonne préparation

Bernas

Dom

Pour l’approximation des équations différentielles, ne peut-on pas utiliser la suite utilisée dans la démonstration (enfin, je ne connais que celle-là) du théorème de Cauchy-Lipschitz (point fixe de Picard) ?

Ça permet de parler de la preuve sans la présenter (elle est admise je crois dans les programmes de ce concours).
Là je pense à Cauchy-Lipschitz linéaire ($Y’=AY+B$).

Il me semble même que, par exemple, pour l’exponentielle, ça donne la série entière qui définit (surprise !) la fonction exponentielle.

La convergence est d’ailleurs géométrique, ce qui, il me semble est une vitesse raisonnable.

Qu’en pensent les experts ?

parisse

La doc de Xcas peut aussi servir de reference, et vous etes sur de l'avoir a disposition le jour de l'oral. Ouvrir le menu Aide>Manuels>Algorithmes (je conseille la version HTML).

Via l'index: rechercher Newton, point fixe, Euler

Via la table des matieres:
Section 14.5.1: resolution numerique d'edo (methodes a 1 pas), sauf erreur, seul Euler est au programme de l'agreg interne
Sections 21.2 et suivantes du chapitre 21 application des suites a la resolution d'equations

On peut sans doute mettre des methodes iteratives de resolution d'algebre lineaire si on en connait (section 22.9.2 ou index chercher Jacobi ou Gauss-Seidel) mais il me semble que ce n'est pas au programme de l'agreg interne.

Balix

Il y a un développement quasi clés en mains pour l'interne de la méthode de Newton dans le "Petit guide du calcul différentiel" de Rouvière.

Il me semble aussi avoir lu des trucs dans "Analyse numérique et équations différentielles" de Demailly