Les sous-groupes de Z (détail dans l'énoncé)

Bonjour,
j'ai refait la démonstration que j'ai bien comprise. Les sous-groupes de $(\mathbb{Z},+)$ sont de la forme $n\mathbb{Z}$ où $n$ est dans $\mathbb{Z}$.

Mais je vois aussi un énoncé où l'on annonce que $n$ est dans $\mathbb{N}$.
Alors je me dis que $n\mathbb{Z}$ où $n\in\mathbb{Z}$ c'est pareil que $n\mathbb{Z}$ où $n\in\mathbb{N}$.

Est-ce le cas ?

Réponses

  • $a\times -b=-a\times b$
  • Bonjour.

    Il n'est pas nécessaire de les faire apparaître deux fois.

    Cordialement.
  • $$\{n\mathbb Z \mid n \in \mathbb Z\} = \{m\mathbb Z \mid m \in \mathbb N\}$$
  • Je vois.

    Notons $E=\{n\mathbb{Z}|n\in\mathbb{Z}\}$ et $F=\{m\mathbb{Z}|m\in\mathbb{N}\}$.

    Je montre $E=F$ par double inclusion.

    Si $u\in E$, alors $u=n\times k$ avec $(n,k)\in\mathbb{Z}^2$

    Cas 1 : $n\in\mathbb{N}$
    On pose $m=n$ et donc $u=m\times k$ avec $m\in\mathbb{N}$ et $k\in\mathbb{Z}$.
    Donc $u\in F$.

    Cas 2 : $n\notin\mathbb{N}$ (autrement dit $n\in\mathbb{Z}-\mathbb{N}$ ou $n\in -\mathbb{N}$).
    On pose $m=-n$ et $k'=-k$ donc $u=(-m)\times (-k')=m\times k'$ avec $m\in\mathbb{N}$ et $k'\in\mathbb{Z}$.
    Donc $u\in F$.

    Dans tous les cas, $E\subset F$.
    L'inclusion réciproque se démontre de la même manière.

    PS :
    J'ai vu dans un ouvrage la locution latine "Mutatis mutandis" qui signifie "en modifiant ce qui doit être changé". Et elle à propos ici au moment où je parle de l'inclusion réciproque ?
  • Ça ne va pas du tout. Les éléments de $E$ et $F$ sont des ensembles – des sous-groupes – et pas des entiers.

    Soit $u$ dans $E$ (drôle de lettre pour désigner un sous-groupe mais pourquoi pas ?). Il existe donc $n$ dans $\Z$ tel que $u=n\Z$. Si $n\in\N$, alors $u$ appartient à $F$ par définition de $F$. Sinon, soit $m=-n$, alors – et là, il faut inclure quelque chose qui ressemble à ce que tu as écrit – on a $n\Z=m\Z$ et $m\in\N$ donc $u$ appartient aussi à $F$.

    La locution « mutatis mutandis » n'est pas appropriée ici car l'inclusion réciproque est triviale : l'ensemble des $n\Z$ lorsque $n$ décrit une partie de $\Z$ est inclus dans l'ensemble des $n\Z$ lorsque $n$ décrit $\Z$.
  • Salut, à confirmer par les intervenants plus compétents.

    $E=\{n\mathbb{Z}\mid n\in\mathbb{Z}\}$ et $F=\{m\mathbb{Z}\mid m\in\mathbb{N}\}$. Ce sont des ensembles d'ensemble.
    Montrons $E \subset F$

    Soit $X \in E$. Alors il existe $n \in \mathbb Z$ tel que $X=n\mathbb Z$
    Si $n \leq 0$ alors $X= - (-n \Z) = m (-\Z) = m \Z $ avec $m \in \N$.
    Si $n \geq 0$ alors le résultat est immédiat.
    Dans tous les cas $X \in F$

    Même type de raisonnement pour l'autre inclusion.
  • J'ai compris.
    Merci beaucoup.

    Sinon pour revenir à la démonstration en elle-même, pour montrer le sens si $H$ est un sous-groupe de $(\mathbb{Z},+)$ alors il existe $n\in\mathbb{Z}$ tel que $H=n\mathbb{Z}$, j'ai besoin d'une petite précision. On le fait par double inclusion après avoir introduit $n$, le plus petit élément de la partie $H\cap\mathbb{N}^*$.

    Pas de souci pour prouver que $n\mathbb{Z}\subset H$.
    Pour l'inclusion réciproque, à savoir $H\subset n\mathbb{Z}$, on utilise la division euclidienne. On fixe $y\in H$ et on écrit : $$
    y=nq+r,\quad\text{avec}\ 0\le r<n.
    $$ Mes deux questions :
    1. L'élément $q$ est bien dans $\mathbb{Z}$ ?
    2. A ce stade, il faut préciser que la division euclidienne est permise car $n$ n'est pas nul, où n'est-ce pas nécessaire ?
  • 1. Évidemment ! La division euclidienne dans $\Z$ se passe dans $\Z$... Exercice : trouver $q$, $q'$ et $q''$ rationnels tels que $25=3q$, $25=3q'+1$ et $a=3q''+2$.

    2. Oui, sans quoi il n'y a pas de division euclidienne. Cela indique qu'il faut vérifier qu'il existe un $n$, c'est-à-dire que $H\cap\N^*$ n'est pas vide, ce qui d'ailleurs n'est pas toujours vrai.
  • Bonjour,
    merci.

    1. Alors je dirais :
    $25=3q \Rightarrow q=\frac{25}{3}$
    $25=3q'+1 \Rightarrow 24=3q' \Rightarrow q'=\frac{24}{3}$
    $a=3q''+2 \Rightarrow a-2=3q'' \Rightarrow q''=\frac{a-2}{3}$

    2. Ok ! J'ai dit qu'il y avait deux cas :

    Si $H=\{0\}$ alors on écrit directement que $H=n\mathbb{Z}$ avec $n=0$.
    Sinon, il existe un élément $x$ dans $H$ non nul. Et alors, puisque c'est un sous-groupe, il contient aussi son symétrique $-x$. L'un des deux est strictement positif et donc $H\cap\mathbb{N}^*$ est non vide. Il contient un plus petit élément $n$ non nul.
  • 1. La morale, c'est que sans l'hypothèse d'intégralité, on a tous les restes que l'on veut.

    2. Ça marche.
  • Merci beaucoup:-)
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